فراکتال


 

 

 

 

            (مهندسي نرم افزار كامپيوتر)

 

موضوع ارائه:

آشنايي با فراكتال و كاربرد هاي آن

استاد مربوطه:

جناب آقاي عزیزی

 

فهرست مطالب:

 

مقدمه :

همه جا فراکتال!

هندسه فراکتالي ديدگاه شما به طبيعت و محيط پيرامونتان را به طور کلي تغيير خواهد داد. گاليله مي‌گويد خداوند جهان را به زبان رياضي آفريده است. مندبرات در قرن جديد، اين مفهوم را به خوبي به ما نشان داده است.

اشكال فركتالي چنان با زندگي روزمره ما گره خورده كه تعجب آور است. با كمي دقت به اطراف خودتان، مي توانيد بسياري از اين اشكال را بيابيد. از گل فرش زير پاي شما و گل كلم درون مغازه هاي ميوه فروشي گرفته تا شكل كوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شكل ريشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شكل سرخس ها، سياهرگ و شش و...

همه اينها نمونه هايي از اشكال فركتالي اند.

 هندسه فراکتالي او، همه ديدگاه ما نسبت به ابرها، جنگلها، کهکشانها، برگ‌ها، پرها، گلها، صخره‌ها، کوهها، جريان آب، فرش‌ها و آجرها را تغيير مي‌دهد و شما متوجه مي‌شويد که اين پديده‌ها متفاوت هستند. هندسه مندبرات، به ما کمک خواهد کرد که با ديدگاه علمي جديدي به اين پديده‌ها نگاه کنيم و لبه ابرها، مرز درختان جنگل و افق، حرکات پر پرنده وقتي در هوا پواز مي‌کند را با نظم علمي جديدي ببينيم. ما در جهاني زندگي مي‌کنيم که قوانين حاکم بر پديده‌هايش، منشأ وحدت خاصي دارند که موجب مي‌شود اشکال کوچک از خره‌ها گرفته تا اشکال بزرگي مانند کهکشانها را با يک هندسه توضيح دهيم . طبيعت ما کاملا فراکتالي است.

چکیده

مفهوم فراکتال یکی از جذابترین مفاهیم هندسه امروز است.

فراکتال ها شکل هایی دارند که از جزییات مشابهی در اندازه های مختلف بر خوردارند. این بدان معناست که وقتی شما به قطعه کوچکی با شکل فراکتال نگاه میکنید، نسخه های کوچکی از همان شکل بزرگ فراکتال را ملاحظه میکنید  انواع بسیار مختلفی از فراکتال ها وجود دارند و در قلب فراکتالها ریاضیات وجود دارد .
این بدان معنا نیست که انسان باید ریاضیات را برای ایجاد فراکتال ها درک کند . اگر چه هنر فراکتال ها از ریاضیات سر چشمه گرفته ولی در اسارت آن نمی باشد؛ ریاضیات و معادلات ابزار هایی در دستان هنرمندان هستند، ابزاری برای بیان شخصیت و احساس خود. تعدادی از کارهایی که ما انجام می دهیم ممکن است ارزش نا معلومی در مبحث ریاضیات داشته باشد.                                                                                                                                      
خیلی از مردم جذب شکلهای زیبای عجیبی می شوند که به عنوان فراکتال شناخته شده اند. با گسترش ماورای درک معمولی از ریاضی به عنوان مجموعه ای از فرمولها ، هندسه ی فراکتالی هنر را با ریاضی می آمیزد که نشان دهند که معادلات بیشتر از مجموعه ای از اعداد هستند. با هندسه فراکتالی می توانیم بیشتر مدلهایی را که در طبیعت می بینیم به تصویر بکشیم مثل زیبا ترین خطوط ساحلی. فراکتال ها برای نشان دادن فرسایش خاک و آنالیز کردن الگوهای زلزله شناسی استفاده می شوند.

 اما بیشتر از کاربرد های احتمالی برای توصیف الگوهای طبیعی ، به وسیله ی زیبایی تصویری فراکتالها می توانند به دانش آموزان کمک کنند که تفکر دانش آموزان که ریاضیات خشک و غیر قابل دسترسی ست عوض کند ممکن است کشف ریاضی در کلاس را تشویق کند .

تصاویر زیبایی طبیعی فراکتال ها در دانش آموزان انگیزه مطالعه سیستم های ارتباطی ، برنامه های شمارشی، پیشرفت الگو ، ریاضی انتگرالی، ایده بی نهایت و موضوعات دیگردر ریاضی و برنامه های درس علمی را ایجاد می کند .
البته کاربرد های دیگری هم برای فراکتال وجود دارد مثل معرفی شباهت ها ، فشردگی ،بی نهایتی ، تقسیم و کسر فراکتال ها ، توازن و بزرگنمایی و کشف الگو ها.

 کلمات کلیدی:

Fractal) fractus یا fractura)

KochFractal

fractional dimension

فراکتال چیست؟

فراکتال تصویر هندسی چند جزیی است که می‌توان آن را به تکه هایی تقسیم کرد که انگار هر تکه یک کپی از " کل " تصویر است . به سختی بتوان باور کرد که چیزی مانند فراکتال‌ها بتواند اینقدر پیچیده و سخت باشد و در عالی ترین سطوح ریاضی به کار رود و در عین حال بتوان به تصویر یک سرگرمی خوب به  آن نگاه کرد فراکتال ها شکل هایی هستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به  هیچ وجه منظم نیستند . این شکل ها اولاً سرتاسر نامنظم اند                                                                              ، ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است.

با ملاحظه اشکال موجود

د ر طبیعت، مشخص می شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست.

مندل بروت در سال ۱۹۷۵ اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی کند.

جسم فراکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است.

وقتی که به یک جسم فراکتال نزدیک می شویم، می بینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه ها بی شکلی به نظر می رسید، بصورت جسم مشخص در می آید که شکلش کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود. در طبیعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها دیده می شود. درختان ، ابرها، کوهها، رودها، لبه سواحل دریا، و گل کلم ها اجسام فراکتال هستند بخش کوچکی از یک درخت که شاخه آن باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فراکتال عنوان نمود.

بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فراکتال می باشند. تراشه های سلیکان، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپینسکی را می توان در این مورد مثال زد.

در علم ریاضی فراکتال یک شکل مهندسی است که پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است.

میزان بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک میزان است. مثلث سرپینسکی یک مثلث متساوی الاضلاع است که نقاط وسط سرضلع آن به یکدیگر متصل شده اند. اگر این عمل در داخل مثلث های متساوی الاضلاع جدید تا بی نهایت ادامه یابد، همواره مثلث هایی حاصل می شوند که مشابه مثلث اول هستند.

( وحید قبادیان، مبانی و مفاهیم در معماری معاصر غرب )

هندسه ی اقلیدسی احجام کامل کره ها و هرم ها و مکعب ها واستوانه ها- بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند . ابرها و کوه ها و خط ساحلی و تنه ی درختان همه با احجام اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس های کوچک نیز به ارمغان می آورند که یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال ها همین است .

این بدین معناست که هندسه ی فراکتال بر خلاف هندسه ی اقلیدسی روش بهتری را برای توضیح و ایجاد پدیده هایی همانند طبیعت است .زبانی که این هندسه به وسیله ی آن بیان می شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می توانند به فرمولها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند.

فراکتوس به معنی فرکتال از کلمه ی لاتین سنگی نامنظم شکسته و خرد شده است، گرفته شده است .

فراکتال نموداریست از یک کاربرد مختلف.این یک کاربرد فراکتالی ست:
f (n) =f (n)*f (n) +c
یا f (n)

2+c
این معادله به عنوان قانون که کاربرد متعدد دارد مشهور است. این معادله مخصوص ،فراکتالی را که به عنوان جولین معروف است شکل می دهد.در این معادله "c" برابر است با یک شماره پیچیده که می تواند هر ارزشی داشته باشدو نتیجه نیز یک جولین دیگر خواهد بود."n" نیز به عنوان متغیر به کار می رود.
متغیر ها مخصوص هستند چرا که با c یعنی یک شماره پیچیده یا فرضی در ارتباط هستند. در موقعی که متغیر ها (x,y) هستند در فراکتال هندسی، این شماره به صورت x+iy نشان داده می شود.به عبارت دیگرx ثابت و y عدد متغیر و فرضی ست. می دانید که در فراکتال هندسی ، محور x محور واقعی و محور y محور فرضی می باشد. حالا بر می گردیم به کاربرد فراکتال و متغیر های جدید یعنی (x+iy) را به جای nبه کار ببریم. حتما می پرسید چگونه این کاربرد آن نمودار های جالب را می سازند.بسیار خوب به جای اینکه نتیجه کاربرد یک خط باشد فقط یک نقطه می شود. که اگر به تعریف نقطه نگاه کنید می تواند بسیار کوچک باشد و این امر نشان می دهد که چگونه می توانیم یک قسمت از یک فراکتال را بزرگ کنیم و یک فراکتال جدید کلی را به دست آوریم.این نقطه روی n ، یعنی متغیر ها وجود دارد.البته فراکتال ها رنگی هستند.
این رنگها چگونه انتخاب می شوند؟ این نیز مثل همه چیز نسبتاً ساده است. اول نیاز به نقطهای برای رنگ کردن دارید. مثلاً به جای نقطه c نقطه (2+li) را انتخاب می کنیم.به خاطر دارید که c می تواند هر عدد پیچیده ای باشد.حالا آن را وارد معادله می کنیم:
f (n)=f(2 + li)=
(2 + li)(2 + li)+(l + li)=
2*2 + 2i + 2i + i

2 + l + li =
5 + 5i + -l=………. Remember i^2 = -l
4 + 5i
اینها متغیر های جدید ما هستند. به یاد داشته باشید که اگر یکسری متغیرها را وارد یک کاربرد بکنید نتیجه یک سری از متغیرها می شود. 4 + 5i سری جدید متغیر هاست . هنوز کارمان تمام نشده است. کاری که بالا انجام دادیم نشان دهنده یک تکرار است. ما ادامه می دهیم که هر سری از متغیر اه را در این کاربرد قرار دهیم تا اینکه بتوانیم ثابت کنیم که این نقطه باعث تشکیل نمودار می شود.رنگ به این طریق انتخاب می شود. اگر یک نقطه بعد از یک تکرار تشکیل شود یک رنگ می گیرد ، هر نقطه بعدی که بعد ار یک تکرار شکل تشکیل میدهد همان رنگ را میگیرد.همه نقاطی که بعد از دوتکرار شکل می گیرد رنگ جدیدی می گیرند. هر نقطه ای که حذف می شود مجبور هستیم که دوباره همه محاسبات را انجام دهیم.اما وقتی که به محدوده پیچیده مندل برات دقیق می شویم می بینیم که c و z جنگ قدرتمندی را انجام داده اند که ببینند آیا z فرار می کند یا نه. در این جنگ مرتباً موضع عوض می شود و تا لبه هر دو پیش می روند، که فقط به طرف صفر بیفتد. این جنگی ست که در تغییر یک میلیونیم یک جز می تواند باعث تفاوت بین همیشه ماندن و به دام افتادن و یا پرتاب شدن به طرف بی نهایت باشد.
ماندل برات و جولیا فراکتال هستند .معنی آن این است که محدوده بین مکان سیاه که ماندل برات است و محل احاطه کننده آن که ماندل برات نیست یک خط ساده یا یک منحنی (یک بعدی) نیست.اما درون یک دایره یا مربع نیز پر نمی شود (دوبعدی). آن قدر پیچیده و دارای جزییات است که بعد فراکتالی خواهد داشت.
وقتیکه بزرگی یک فراکتال را دو برابر می کنید بلندی منحنی و بنا براین محل پوشیده شده فقط دو برابر نمی شود. تمام قسمت های قابل رویت قبلی از منحنی در درازا دو برابر می شود اما نقطه های برجسته جدید منحنی ها قابل رویت می شوند و به درازا می افزایند.
سری ماندل برات ثابت شده که دارای دو بعد فراکتالی می باشد. یعنی اینکه هر بار که بزرگی را دو برابر می کنید در ازای در ازای محدوده چهار برابر می شود. همچنین سری مندل برات می تواند به پیچیدگی یک غراکتال شود. در ازای محدوده سری مندل برات بی نهایت است. می تواند هر طولی که شما بخواهید داشته باشد، اگر آن را با یک قطعه اندازه گیری که به اندازه کافی کوچک باشد اندازه بگیرید.
واضح است که خط بیرونی دور ماندل برات گره کاملی را دور ماندل برات شکل می دهد . این خط که نشان دهنده دو متغیر در آن واحد است، دور لبه های بیرونی به آرامی می گردد و بعد از عقب به خودش وصل می شود. هیچ نقطه دیگری نیست که شمارش متغیر آن دو باشد به جز روی این خط و همه این نقاط روی این خط به وسیله نقاط دیگری که شمارش آن دو است به هم متصل می شوند. این مورد کمتر واصح است اما برای خطوط دیگر نیز به همین نسبت درست است.اگر روی خطی که ده متغیر را نشان می دهد متمرکز شوید ، می توانید همه راه را روی سری ماندل برات طی کنید و برگردید به جایی که شروع کرده بودید. می توانید این کار را روی خطی که نشان دهنده صد یا هزار متغیر باشد انجام دهید. البته زمان زیادی طول می کشد.

«جبر، حساب و هندسه» سه شاخه مهم از رياضيات است، همين سه عنوان در رياضيات پايه گذار پيشرفت در تمام علوم محسوب مي شوند.

شايد همين حس مسئوليتي كه رياضيات به تمام بخش هاي علوم دارد آن را بسيار جدي و در نظر بسياري، علمي خشك و در عين حال سخت جلوه داده است. در اين ميان هندسه نقش بسيار مهمي را حتي در شاخه هاي رياضي برعهده دارد. هندسه كه مي توان به آن علم بازي با اشكال لقب داد، خود پايه گذار ديگر شاخه هاي رياضي است. زيرا تمام قسمت هاي ديگر در رياضيات و علوم ديگر تا به صورت مشهودي قابل بررسي دقيق و اصولي نباشد جاي پيشرفت چشمگيري براي آنها نمي توان درنظر گرفت. با اين اوصاف، شايسته است به هندسه لقب «مادر بزرگ علوم» دهيم.شايد اگر زماني كه حوزه اطلاعاتمان از اعداد تنها به مجموعه اعداد طبيعي منتهي مي شدو معلم درس رياضيات از ما مي خواست تا ضلع سوم مثلث قائم الزاويه اي را كه طول هر ضلعش يك سانتي متر است اندازه بگيريم نمي توانستيم عددي را با چنين ويژگي بيابيم .سال ها پيش اقليدس با حل مسئله اي نظير اين (محاسبه قطر مربعي كه هر ضلعش 1 واحد بود)، سلسله اعداد جديدي را به مجموعه هاي شناخته شده اضافه كرد كه يكي از شاهكارهاي بي نظير در پيشرفت رياضيات و البته علوم بود. بله اين عدد عجيب و غريب «راديكال 2» بود.

عموم تحصيلكردگان با هندسه اقليدسي آشنا هستند. زيرا دست كم در طول دوران تحصيل خود به اجبار هم كه بوده در كتاب هاي درسي با اين هندسه كه اصول آن بر مبناي اندازه گيري است آشنا شده اند. اما هندسه اقليدسي تنها به بررسي اشكال كلاسيك موجود در طبيعت مي پردازد. در اين هندسه اشكال و توابع ناهموار، آشفته و غير كلاسيك به بهانه اينكه مهار ناپذيرند، جايي نداشتند.

بالاخره در سال 1994، طلسم يكي از تئوري هاي رياضي كه از سال1897، عنوان شده بود، شكست و «مندلبرات(1)» رياضيدان لهستاني، پايه گذار هندسه جديدي  شد كه به آن هندسه بدون اندازه يا هندسه فركتالي گويند. هندسه بدون اندازه يكي از شاخه هاي جديد رياضيات است كه در برابر تفسير و شبيه سازي اشكال مختلف طبيعت از خود انعطاف و قابليت بي نظير نشان داده است. با به كارگيري هندسه فركتالي، افق روشني پيش روي رياضيدانان و محققان در زمينه بازگو كردن رفتار توابع و مجموعه هاي به ظاهر ناهموار و پر آشوب قرار گرفت.

واژه فركتال به معناي سنگي است كه به شكل نامنظم شكسته شده باشد. در اين هندسه اشكالي مورد بررسي قرار مي گيرند كه بسيار نامنظم به نظر مي رسند. اما اگر با دقت به شكل نگاه كنيم متوجه مي شويم كه تكه هاي كوچك آن كم و بيش شبيه به كل شكل هستند به عبارتي جزء در اين اشكال، نماينده اي از كل است. به چنين اشكالي نام «خود متشابه» نيز مي دهند.

اشكال فركتالي چنان با زندگي روزمره ما گره خورده كه تعجب آور است. با كمي دقت به اطراف خودتان، مي توانيد بسياري از اين اشكال را بيابيد. از گل فرش زير پاي شما و گل كلم درون مغازه هاي ميوه فروشي گرفته تا شكل كوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شكل ريشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شكل سرخس ها، سياهرگ و شش و...

همه اينها نمونه هايي از اشكال فركتالي اند.

 اين  موجودات به عنوان اصلي ترين بازيگران هندسه منتج از نظريه آشوب شناخته مي شوند.

اين هندسه ويژگي هاي منحصر به فردي دارد، که مي تواند توجيه گر بسياري از رويدادهاي جهان اطراف ما باشد، اما ويژگي اصلي که در تعريف آشوب و بالطبع هندسه آن وجود دارد، باعث مي شود ما استفاده ويژه اي از اين سيستم ببريم.

اين روزها از فراکتالها به عنوان يکي از ابزارهاي مهم در گرافيک رايانه اي نام مي برند، اما هنگام پيدايش اين مفهوم جديد بيشترين نقش را در فشرده سازي فايلهاي تصويري بازي کردند.

اگر هنوز از اين موجودات ساده و در عين حال پيچيده هيجان زده نشده ايد، اين نکته را هم بشنويد.اين اجسام نه يک بعدي اند، نه دو بعدي و نه سه بعدي.

. مطمئن باشيد هندسه فراکتال بر بسياري از اشکال عالم حاکم است ؛ حتي اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد.

شما نيز با دقت بيشتر به اطرافتان و يافتن ارتباط هاي ملموس بين رياضي و زندگي مي توانيد از سختي و به اصطلاح خشك بودن رياضي بكاهيد

تاریخچه :

برخال اولین بار توسط بنوا مندلبرو در سال ۱۹۷۵ ارئه داده شد.در بسیاری از وبلاگها مشاهده شده که تاریخ دقیقی از این موضوع ارائه نداده اند. ولی ما در اینجا با صراحت کامل ذکر می کنیم که بنوا مندل برو تحقیقات خودش رو از سال ۱۹۶۰ شروع کرده ولی اولین بار کلمه برخال fractal رو در مقاله سال ۱۹۷۵ ( Stochastic Models for Earth`relief, the shape and the fractal dimension of coastlines, and the number-area rule for islands ) ذکر کرده اما مشتقات این کلمه مثل fractional dimensionبعد کسری در مقاله سال ۱۹۶۷با عنوان ( How long is the coast of britain? Statistical self-similarity and fractional dimension.) ذکر شده است. بعد ها او در مقالات بعدیش به توسعه این هندسه پرداخته است. او مطالعات پراکنده دانشمندان دیگر را در قالب هندسه منسجمی ارائه داد.

درسال ۱۹۶۰ هواشناس آمریکایی ادوارد لورنز برای شبیه سازی سیستمهای جوی از معادلات غیر خطی استفاده می کرد. او به این نکته پی برد که تغییرات کوچک ( حتی ۱هزارم) در شرایط اولیه باعث تغییرات زیادی در نتیجه  می شود. بعد ها  این پدیده را اثر پروانه نامیدند.

 یعنی تنها با گرد کردن اعداد بعد از چهارمین رقم اعشار یک چنین اختلاف بزرگی در نتیجه حاصل شده است این بدین معنی است که اگر پروانه ای در چین بالهاشو بر هم بزنه نتایج حاصل از برخورد بال این پروانه با هوا باعث می شه که در  آریزونا توفانی ایجاد بشه. این یک تمثیل است. لورنز برای مدلسازی عمل رفتار آشوبناک سیستم گازی در اتمسفر سه معادله از عرصه فیزیک دینامیک سیالات به عاریه گرفت سپس با کمی خلاصه سازی به صورت زیر ارائه داد:

(dx/dt =Δ*(y-x

dy/dt=r*x-y-z*z

dz/dt=x*y-b*z

dx/dt=delta*(y-x)

dy/dt=r*x-y-x*z

dz/dt=x*y-b*z

dx/dt=delta*(y-x)

dy/dt=r*x-y-x*z

dz/dt=x*y-b*z

ایده خود متشابه در اصل توسط لایبنیتس بسط داده شد. او حتی بسیاری از جزئیات را حل کرد. در سال ۱۸۷۲ کارل وایرشتراس مثالی از تابعی را پیدا کرد با ویژگیهای غیر بصری که در همه جا پیوسته بود ولی در هر جا مشتق پذیر نبود. گراف ‌این تابع اکنون برخال نامیده می‌شود. در سال ۱۹۰۴ هلگه فون کخ به همراه خلاصه‌ای از تعریف تحلیلی وایرشتراس ، تعریف هندسی‌تری از تابع متشابه ارائه داد که حالا به برفدانه کخ معروف است. در سال ۱۹۱۵ واکلو سرپینسکی مثلثش را و سال بعد فرش‌اش (برخالی) را ساخت. ‌ایده منحنیهای خود متشابه توسط پاول پیر لوی مطرح شد او در مقاله اش در سال ۱۹۳۸ با عنوان «سطح یا منحنیهای فضایی و سطوحی شامل بخش‌های متشابه نسبت به کل» منحنی برخالی جدیدی را توصیف کرد منحنی لوی c. گئورگ کانتور مثالی از زیرمجموعه‌های خط حقیقی با ویژگیهای معمول ارائه داد‌. این مجموعه‌های کانتور اکنون به‌عنوان برخال شناخته می‌شوند. اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم توابع تکرار شونده در سطح پیچیده توسط هانری پوانکاره، فلیکس کلاین، پیر فاتو و گاستون جولیا شناخته شده بودند. با‌این وجود بدون کمک گرافیک کامپیوتری آنها نسبت به نمایش زیبایی بسیاری از اشیایی که کشف کرده بودند، فاقد معنی بودند. در سال ۱۹۶۰ بنوا مندلبرو تحقیقاتی را در شناخت خود-متشابه‌ای طی مقاله‌ای با عنوان «طول ساحل بریتانیا چقدر است؟ خود متشابه‌ای آماری و بعد کسری» آغاز کرد. ‌این کارها بر اساس کارهای پیشین ریچاردسون استوار بود. در سال ۱۹۷۵ مندلبرو جهت مشخص کردن شئی که بعد ((هاوسدورف بیسکویچ)) آن بزرگ‌تر از بعد توپولوژیک است کلمه برخال را‌ ایجاد کرد. او‌این تعریف ریاضی را از طریق شبیه سازی خاص کامپیوتری تشریح کرد.

 مجموعه  جولیا

بر خالها از نظر روش مطالعه به برخالهای ‍‌جبری و بر خالهای احتمالاتی تقسیم می‌شوند. از طرف دیگر برخالها یا خود متشابه اند (self similarity) یا خود الحاق (self affinity) هستند. در مورد خود متشابه‌ای شکل جز شباهت محسوسی به شکل کل دارد این جز، در همه جهات به نسبت ثابتی رشد می‌کند و کل را به وجود می‌آورد. اما در خود الحاقی شکل جز در همه جهات به نسبت ثابتی رشد نمی‌کند. مثلاً در مورد رودخانه‌ها وحوضه‌های آبریز بعد برخالی طولی متفاوت از بعد برخالی عرضی است Vx = ۰. ۷۲-۰. ۷۴ و Vy = ۰. ۵۱-۰. ۵۲ (ساپوژنیکوف و فوفولا ،۱۹۹۳) لذا شکل حوضه آبریز کشیده‌تر از زیر حوضه‌های درون حوضه است. به خود متشابه‌ای همسانگرد ( isotropy) می‌گویند. به خود الحاقی ناهمسانگرد( anisotropy) می‌گویند.

گسترش رو به رشد رویکرد مونوفراکتالی (تک برخالی) اخیر، داده‌ها را با مجموعه فراکتالی، بجای بعد منفرد فراکتالی توصیف می‌کند. ‌این مجموعه طیف چند برخالی (multifractal spectrum) نامیده می‌شود و روش توصیف تغییر پذیری بر اساس طیف سنجی چند برخالی به آنالیز چند برخالی (multifractal analysis) معروف است (فریش و پاریسی، ۱۹۸۵). روش چند برخالی به اندازه خود متشابه‌ای آماری (statistical self-similar) دلالت دارد که می‌تواند به صورت ترکیبی از مجموعههای متقاطع برخالی (interwoven fractal sets) مطابق با نمای مقیاس گذاری نمایش داده شود. ترکیبی از همه مجموعه‌های برخالی طیف چند برخالیی را‌ایجاد می‌کند که تغییر پذیری و ناهمگنی متغیر مورد مطالعه را مشخص می‌کند. مزیت رویکرد چند برخالی‌این است که پارامترهای چند برخالی می‌توانند مستقل از اندازه موضوع مورد مطالعه باشند. (Cox and Wang, ۱۹۹۳)

فراکتال ها انواع عناصری هستند که فرم فضایی آنها صاف نیست .بنابراین “نامرتب ” نامیده شده اند و این نامنظمی آنها به طور هندسی در راستای مقیاسهای گوناگون در داخل هرم تکرار می شوند .هر چیز طبیعی در اطراف ما در اصل نوعی فراکتال است . به این سبب که خطوط صاف و پلانها فقط در دنیای ایده آل ریاضی وجود دارد .در کنار این تئوری هر سیستم که بتواند به صورت هندسی متصور و تحلیل شود می تواند یک فرکتال باشد .جهان در فرم فیزیکی ( مادی ) کلی خود پر هرج و مرج ،ناممتد و نامنظم است اما در پس این اولین ذهنیت و گمان یک نوع دستوری نهفته است که منظم و دارای ترکیبی واضح است . بهترین راه برای تعریف یک فرکتال توجه به صفتها و نشانه های آن است یک فرکتال ” نامنظم ” است . این بدان معنی است که در آن هیچ قسمتی صاف نیست . فرکتال ” خود مشابه ” است و این بدین معنی است که ” اجزا ” شبیه کل هستند .

فراکتال ها به وسیله ی ” تکرار ” توسعه می یابند که به این معنی است که تغییرشکل مکرراً ایجاد شده و وابسته به موقعیت شروع است . خصوصیت دیگر آن این است که فراکتال ” مرکب ” است . اما با این حال می توان آن را به وسیله ی الگوریتم های ساده نشان داد و همچنین بدون معنی نیز نیست که در پس عناصر

نامرتب طبیعی یک رشته قوانین موجود است .

 

frac4.jpg

 

 

 

 

 

 

موزه گوگنهایم در بیلبائو

 

خواص فراکتال :

فرکتال از دید هندسی به شیئی گویند که دارای سه ویژگی زیر باشد:

۱-اول اینکه دارای خاصیت خود متشابهی باشد یا به تعبیر دیگر self-similar باشد.

۲-در مقیاس خرد بسیار پیچیده باشد.

۳-بعد آن یک عدد صحیح نباشد (مثلاً‌ ۱٫۵).

برای درک بهتر نسبت به مشخصات بالا در فرم هندسی ، بد نیست نمونه ای که شاید تا کنون با آن برخورد کرده باشید مطرح شود :

frac2.jpg

تصویر بالا ( یک کبوتر ) یک فرم هندسی است که دقیقاً با تعاریفی که در تعریف فرکتال بیان شد، منطبق است یعنی هم دارای خاصیت خود متشابهی و پیچیدگی در مقیاس خرد و نیز عدم داشتن بعد صحیح . تصویر بالا دارای بعدی بین عدد ۲ و ۳ است.

حال به بررسی هر یک در زیر پرداخته شده :

خاصیت خود متشابهی فرکتا لها

شیئی را دارای خاصیت خود متشابهی می گوییم: هر گاه قسمت هایی از آن با یک مقیاس معلوم ، یک نمونه از کل شیئی باشد.

ساده ترین مثال برای یک شیئ خود متشابه در طبیعت گل کلم است که هر قطعه‌ی کوچک گل کلم متشابه قطعه بزرگی از آن است.

همین طور درخت کاج یک شیئ خود متشابه است ،چرا که هر یک از شاخه های آن خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی در مقیاس بسیار کوچکتر .همچنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد.

رشته کوه ها ، پشته های ابر ، مسیر رودخانه ها و خطوط ساحلی نیز همگی مثال‌ها‌یی از یک ساختمان خود متشابه هستند. گربه‌ها، قناری‌ها و کانگوروها به هم شبیه هستند اگر به نحوی بتوانیم شباهتی بین آنها پیدا کنیم. اما در هندسه تشابه معنای خاصی دارد. تشابه، یکسانی اشکال در عین متفاوت بودن اندازه هاست. به زبان ساده تر اگر بتوانید با بزرگ یا کوچک کردن دو تصویر آنها را درست مثل هم کنید، آن دو متشابه‌اند. اما تصویر‌های خود متشابه کدام‌ها هستند؟ اشکال زیادی وجود دارند که فراکتالی نیستند اما خود متشابه‌اند.

تشکیل از راه تکرار Iterative formation:

مقصود از تشکیل از راه تکرار چیست؟ یعنی برای درست کردن یک فراکتال می‌توانیم یک تصویر معمولی هندسی (مثلاً یک خط) را برداریم و با آن یک تصویر پیچیده تر بسازیم. بعد با آن تصویر به دست آمده تصویر پیچیده تری بسازیم، و همین طور به این کار ادامه دهیم اشکال فراکتالی به این طریق به وجود می‌آیند و برنامه‌های کامپیوتری متعددی بر ایجاد آن‌ها نوشته شده‌است.هر کدام از آنها هم اسم و رسمی برای خود دارند مثلاً مثلث سرپینسکی

فراکتال شکل هندسی پیچیده است که دارای جزییات مشابه در ساختار خود در مقیاسهای متفاوت می باشد و بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک اندازه است . جسم فراکتال از دوز و نزدیک یکسان دیده می شود .مثلا وقتی به یک کوه نگاه می کنیم شکلی شبیه به یک مخروط می بینیم که روی آن مخروطهای کوچکتر و بی نظمی دیده می شود ولی وقتی نزدیک می شویم همین مخروطهای کوچک شبیه کوه هستند و یا شاخه های یک درخت شبیه خود درخت هستند .البته در طبیعت نمونه های اجسام فراکتال فراوان است مثلا ابرها -رودها -سرخس ها و حتی گل کلم از اجسام فراکتال است .و اگر به ساخته های دست بشر هم نگاه کنیم تراشه های سیلیکان و یا مثلث سرپینسکی نیز فراکتال هستند . و در معماری همیشه نباید نیاز بشر را هندسه اقلیدسی تامین کند .گسترش شهرها نمونه آشکاری از فراکتال است.

خصوصیات اشکال فرکتال:

- اشکال اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا تولید می شوند ولی اشکال فرکتال با فرآیندهای پویا تولید می شوند.( فرآیندهای پویا, فرآیندهایی هستند که دارای حافظه می باشند و رفتار آنها به گذشته بستگی دارد.)

- اشکال فرکتال دارای خاصیت خود همانندی است. طول این اشیا بی نهایت است که در فضای محدود, محصور شده اند.

- مجموعه های فرکتال, از زیر مجموعه هایی تشکیل شده اند که این زیر مجموعه ها شبیه مجموعه های بزرگتر هستند.

- هندسه فرکتال دارای ساختارهای ظرفیتی بالاست ولی ظرفیت اطلاعاتی اشیای اقلیدسی بسیار محدود و حاوی اطلاعات تکراری است.

- هندسه فرکتال, بیان ریاضی از معماری طبیعت است.

- هر فرآیند تکراری و پویا باعث ایجاد ساختارهای پیچیده فرکتال نمی شود. مکانیزم تولید چنین ساختارهای پویایی, آشوب است. در حقیقت, فرکتال تصویر ریاضی از آشوب اس.

در مقیاس خرد بسیار پیچیده باشد:

توابع فراکتالی توابعی هستند که در همه جا پیوسته بوده ولی در هیچ جا مشتق پذیر نیستند.                                     

عدم بعد صحیح:

ابعاد کسری همانطور که می‌دانید، یک نقط بعد ندارد. یک خط، تصویری یک بعدی است. یک صفحه، دو بعد دارد و در آخر تصویر‌های حجیم، سه بعد دارند.اما فرکتال‌ها می‌توانند بعد کسری داشته باشند ! مثلاً ۶/۱ یا ۲/۲. اگر یک پاره خط را نصف کنیم چه پیش می‌آید؟ حالا دو خط داریم که درست مثل هم هستند.اگر هر دو بعد یک مربع را نصف کنیم چطور؟ حالا چهار مربع هم اندازه داریم. با نصف کردن هر سه بعد یک مکعب به هشت مکعب کوچکتر می‌رسیم. چه الگویی وجود دارد ؟ به نظر می‌رسد که بعد، همان «توان» است. یعنی برای پیدا کردن تعداد اشکال حاصله باید ۲ را به توان بعد آن تصویر برسانیم. اگر هر ضلع را نصف کنیم چند مثلث درست می‌شود؟

فراكتال هاي هندسي:

خم وان كخ :

يكي از مشهورترين فراكتال‌ها توسط ریاضیدانی به نام  «‌فون‌كخ» در سال 1904 ابداع شد. در اين  فراكتال که به «دانه برفی کخ» شهرت دارد، ابتدا يك مثلث متساوی‌الاضلاع  را در نظر مي‌گيريم و هر ضلع آن را به سه قسمت تقسيم مي‌كنيم؛ سپس به جاي پاره خط وسط هر ضلع، یک مثلث متساوی‌الاضلاع دیگر جايگزین می‌کنیم و این عمل را بارها تکرار می‌کنیم. به این نوع فراکتال‌ها، فراكتال «خود متشابه» گفته می شود، چرا که هر قسمت آن با تکه بزرگ‌تر شبيه است.

روش ساخت فراكتال« دانه برفي كخ» كه كوچك ترين جزء آن مثلث متساوي‌الاضلاع است

 

          ثاثاظ

         

 

 

 

كانتور:

      ساده ترين نوع فراكتال ، فراكتال كانتور است پاره خطي به طول يك را در نظر بگيريد و طول آنرا به سه قسمت تقسيم كنيد و سمت وسط را حذف كنيد حال دو خط داريم كه طول آنها يك سوم طول اوليه است.

 

مثلث سر پينسكي :

فراکتال سرپينسکي يک فراکتال هندسي است. اگر مثلث وسطي يک مثلث متساوي‌الاضلاع را حذف کنيم و

در همه مثلث‌هاي باقي‌مانده هم اين عمل را تا بي‌نهايت انجام دهيم، مجموعه زيبايي از مثلث‌هاي پر و خالي به وجود مي‌آيد که فراکتال سرپينسکي به دست خواهد آمد.

فرایند تشکیل مثلث سرپینسکی

 

 

انواع فراكتا ل ها :

هندسه فراکتال،توصیفگر جهان طبیعت

هندسه فرکتالی وسیله و مفهومی نوین است که امکان توصیف ریختهای طبیعی را میسر کرده است. اشکال هندسی طبیعی همچون کرات آسمان و درخت کاج را به آسانی می‌توان با کره و مخروط توصیف کرد ولی بسیاری دیگر از اشکال طبیعی به اندازه‌ای پیچیده هستند که حتی با ترکیبی از اشکال هندسه اقلیدسی قابل توصیف دقیق نیستند. شکل گل‌کلم، ریخت کوهها، رویه یک فلز در مقیاس‌های میکروسکوپی نمونه‌هایی از شکل‌های طبیعی هستند که توصیف آنها تنها توسط هندسهٔ فرکتالی ممکن است
کشف مفاهیم فرکتالی ابزاری نیرومند در اختیار دانشمندان برای همسنجی پدیده‌های پیچیده طبیعی قرار داد. برای نمونه با کاربرد مفاهیم برخالی می‌توان شکل رودخانه‌های رشته کوه‌های البرز را با شکل رودخانه‌های کوه‌های زاگرس مقایسه کرد و یا می‌توان تغییرات فعالیت‌های لکه‌های خورشیدی در زمان را توصیف و با تغییرات دمای جو زمین هم سنجید. مسلماً مقایسه طول رودخانه‌ها با درازای رودخانه‌ها توصیف دقیقی نخواهد بود زیرا تنها یک جنبه از هندسه پیچیده رودخانه‌های نامبرده را مورد مقایسه قرار می‌دهد. مقایسه همخوانی بسامدهای سازنده تغییرات تعداد لکه‌های خورشیدی در زمان با تغییرات دمای جو در زمان می‌تواند همبستگی این دو پدیده نامبرده را تا اندازه‌ای معین کند ولی نمی‌تواند معیاری یکتا که ارتباط میان‌ سازنده این دو پدیده را معیین می‌کند ارائه دهد.
هندسه فراکتالی چیست؟

بنیاد هندسه برخالی بر این فرض استوار است که اشکال طبیعی خود همانند (Self similar) هستند و از تکرار قانونمند یک بلوک آغازین ایجاد گردیده‌اند. برخالها را به دو دسته ریاضی و طبیعی تقسیم می‌کنند. نمونه برجسته فرکتالی ریاضی (KochFractal) است و تا با عناصراصلي فراكتال و چگونگي ايجاد اين فرم آشنا نشويم نمي توانيم فرم هاي مختلف و حجم هاي مختلف را شناسايي كنيم . باید گفت این نوع خاص از هندسه به دو مفهوم مهم ریاضی محتاج است:

. نمودار

·  مفهوم تابع

فرم فراكتال :

زماني كه به اطراف خود نگاه مي كنيم مي توان از كوچكترين عناصر طبيعي تا بزرگترين اشياي خلقت ، مثالي را كه داراي فرمي فراكتال هستند را مطرح كرد به طوري كه مشخصه هاي هندسي فراكتال را دارا مي باشند.

 

سيستم ساختار هاي تكرار :                           

اين سيستم كه داراي علامت اختصاري IFS - Iterated Function System - است ، سيستم تكرار را مطرح مي كند كه به نوعي پايۀ هندسه فراكتال است .

        تكرار يكي از راه هاي ايجاد فرم در معماري است اما در فراكتال اين فرم بايستي داراي مشخصات هندسي كه در قسمت هندسه فراكتال مطرح شد را دارا باشد .

       به طور كلي اين تكرار مي تواند از كنار هم قرار گرفتن يك شيء بدست آید و يا اينكه يك موضوع نسبت به موضوع ديگر و به طور متوالي كوچك شود

خود متشابهي

اگر بخواهيم در يك جمله خود متشابهي را تعريف كنيم اينگونه بيان مي كنيم ، شييء كه يك كپي كوچكتراز خودش را مي سازد به طوري كه اين شيء داراي تشابه با شكل اصلي است ، اما از لحاظ سايز متفاوت مي باشد .

 

فراكتال هاي طبيعي :

اين فرم ها كه به صورت طبيعي وجود دارند داراي ساختاري خود متشابه هستند حتي در مقياس ميكروسكپي يك دانه برف داراي فرمي خود متشابه است

فراكتال در مناظر طبيعي :

اين فرم ها همانطور كه از اسم آنها پيداست داراي فرمي طبيعي هستند ( عدم دستبرد دست بشر ) . شايد براي عكس از يك سوژه  به يك منظره برخورد كرده باشيد كه در دوردست تپه ها و كوه ها ديده مي شوند ، بد نيست بدانيد كه خود اين منظره داراي فرمي فراكتال است و با هندسه فراكتال قابل حل !!

دستان فراکتالى یک نقاش

»جکسون پولاک» را با تابلو هاى نقاشى عجیبش مى شناسند؛ تابلوهایى که در نگاه اول چیزى جز مخلوطى از رنگ هاى پاشیده شده به بوم نشان نمى دهند. اغلب منتقدان هم عصرش او را چیزى فراتر از یک نقاش عجیب که قلم مو را با حرکت هایى تصادفى روى بوم مى کشد، نمى دانستند؛ اما «پولاک» در برابر آنها مقاومت مى کرد و مى گفت: «من مى توانم جریان رنگ را روى بوم مهار کنم. آنها طرح هاى تصادفى نیستند
چند ده سالى باید مى گذشت تا درستى گفته هاى او اثبات شود. در اواخر دهه ،۱۹۹۰ «ریچارد تیلور» فیزیکدان دانشگاه اورگون به بررسى گلچینى از آثار «جکسون پولاک» پرداخت و فهمید که آنها از الگوهاى فراکتالى مشخصى تشکیل شده اند که تنها با پاشیدن یا ریختن رنگ بر روى بوم به وجود آمده اند. به نظر مى رسید جک رنگ پاش سال ها پیش از آنکه ریاضیات لازم براى بررسى کارهایش ابداع شود، الگوهاى فراکتالى را در نقاشى هایش به کار مى برد.
در اواخر دهه ،۱۹۹۰ «تیلور» که دانش آموخته دکتراى رشته هاى فیزیک و نظریه هنر است، به بررسى این موضوع پرداخت که آیا مى توان سبک رنگ پاشى «پولاک» را براساس هندسه فراکتالى توضیح داد. الگوهاى فراکتالى، الگوهایى هستند که در بزرگ نمایى هاى مختلف خود را تکرار مى کنند و معمولاً با سیستم هاى آشوبناک مرتبط مى شوند. در دهه ،۱۹۷۰ ریاضیدانان با استفاده از نظریه آشوب توانستند الگوهاى فراکتالى طبیعت را شناسایى کنند. سواحل دریاها، درختان و شعله ها، همه الگوهاى فراکتالى دارند.
«
تیلور» به دو دلیل حدس مى زد آثار «پولاک» با هندسه فراکتالى مرتبط باشند. «پولاک» بوم را روى زمین پهن مى کرد و در حین نقاشى دور آن حرکت مى کرد؛ بدین ترتیب او با تمام بدنش رنگ ها را در تمام زاویه ها پخش مى کرد. پیش از این ریاضیدانان نشان داده بودند هنگامى که انسان در شرایط نامتعادل قرار مى گیرد، حرکت اندام هایش خواص فراکتالى از خود نشان مى دهد. فیلم هایى که از نقاشى کردن «پولاک» گرفته شده بود، نشان مى داد او در حالت هاى کنترل شده اى از عدم تعادل کار مى کرد. از سوى دیگر، همین پاشیدن و ریختن رنگ روى بوم مى توانست نوعى فرآیند آشوبناک محسوب شود.
منبع:
(روزنامه شرق)
حجم فركتال ( فركتال در معماري ) :

نتيجه فرم هاي مختلف مي تواند به يك اثر معماري منتج شود.

مطالعه هندسه باید به طراح کمک کند به درک بهتری از جریان جزئیات در پیرامون ما و جهان طبیعی دست یابد.

خصوصیت فراکتالی یک ترکیب معماری در تسلسل جالب جزئیات است. این تسلسل برای حفظ جذابیت معماری لازم است. هنگامی که شخص به یک ساختمان نزدیک و سپس به آن وارد می شود همیشه باید مقیاس کوچکتر دیگری همراه با جزئیات جذاب وجود داشته باشد تا معنای کلی ترکیب را بیان کند که این  یک ایده فراکتال است.

انسانها در روزگار قدیم که در طبیعت می زیستند و مانند انسان دوره مدرن, با طبیعت بیگانه نبودند, معماریشان با نظم طبیعت بود. آنها به این دلیل که در طبیعت رشد میافتند, ضمیر ناخودآگاهشان نیز با نظم طبیعت- یعنی با نظم فراکتال- رشد میافت, در نتیجه مصنوعاتش نیز دارای نطم فراکتال می بود.

فراکتال در معماری معاصر

به دنبال بیگانگی انسان معاصر با طبیعت و دور شدن ساخته هایش از تشابه با ساختارهای طبیعت, معماران معاصر به دنبال نمود دادن ساختار فراکتال طبیعت در آثارشان هستند. هر چند که این هنوز آغاز راه است ولی ارتباطی جدیدی در زمینه طبیعت و معماری معاصر را نشان میدهد. ارتباطی که انسان مدرن آن را فراموش کرده بود.

 

 

الگو هاي رويش فراكتالي:

          پديده هاي رويش درختوار در پيمانه هاي (مقياس هاي) كوچك تا بزرگ در طبيعت ديده مي شوند رويش بلور ها در سنگهاي آذرين رسوبگذاري الكتروشيميايي شبكه ي آبراهه ها و رود خانه ها رويش توده باكتري ها نمونه اي از پديده هاي رشد در طبيعت هستند .

 

آشــوب(chaos):

فهرست مندرجات

۱ آشوب چیست ؟

۲ تغییرات آب و هوایی

۳ مدل فرکتالی مندلبرت

۴ ویژگی‌های تئوری آشوب بی‌نظمی

۴.۱ اثر پروانه‌ای

۴.۲ سازگاری پویا

۴.۳ جاذبه‌های غریب

۴.۴ خود مانایی

۵ بررسی کوتاه نظریه بی‌نظمی در اقتصاد

۶ بررسی نظریه بی‌نظمی در پرستاری و موسیقی

7 آشوب در معده و سیگنالهای معنی دار

۸ مثلث خیام

۹نتیجه‌گیری و جمع‌بندی آشوب

 

تئوری آشوب یا بی‌نظمی، تئوری می‌باشد که فکر و ذهن بشر را به خود واداشته‌است. این تئوری در همه جنبه‌های علمی وارد شده و باعث بحث دانشمندان گردیده‌است. این تئوری که در حیطه علوم مباحث تجربی، ریاضی، رفتاری، مدیریتی، و اجتماعی وارد شده‌است باعث تغییر در نوع دیدگاه بشر به حل مسائل غیر قابل پیش‌بینی شده‌است.انگاره اصلی و کلیدی تئوری آشوب این است که در هر بی‌نظمی، نظمی نهفته‌است به این معنا که نباید نظم را تنها در یک مقیاس جستجو کرد. پدیده‌ای که در مقیاس محلی، کاملاً تصادفی و غیر قابل پیش‌بینی به نظر می‌رسد چه بسا در مقیاس بزرگتر، کاملاً پایا و قابل پیش‌بینی باشد.

دانشمندان معتقد بودند معلول‌ها به صورت خطی بر آیند علل بدنه اصلی مقالات خاصی هستند اکنون آن‌ها به نقش خلاقانه بی‌نظمی و آشوب تاکید کرده و جهان را مجموعه‌ای از سیستم‌هایی می‌دانند که به شیوه‌های خود سازمانده عمل می‌کنند و تصادفی هستند این در شرایطی است این سیستم‌ها از نظم به بی‌نظمی و از بی‌نظمی به نظم ختم می‌شوند. این تئوری پارادوکس گونه نظریه بی‌نظمی است که به آن خواهیم پرداخت. چگونگی شکل گیری نظریه بی‌نظمی:

تغییرات آب و هوایی:

چندی از دانشمندان آب و هواشناسی در حال بررسی شرایط آب و هوایی در یک منطقه خاص که در آن جا آب‌ و هوایی نسبتاً منظم و بی‌تغییر بود پرداختند. آن‌ها به مدت ۲ سال مشغول بررسی آب و هوای این منطقه بودند در سال اول پدیده‌ای مشاهده نگردید. اما در پاییز سال دوم ناگهان شرایط آب و هوایی که دستگاه اندازه‌گیری نشان می داد به هم ریخت اما آثار این به هم ریختگی در آب و هوا مشاهده نگردید دانشمندان به گونه بر آن شدند که این بی‌نظمی ایجاد شده در آب و هوا و دستگاه اندازه‌گیری را توجیه کنند اما این امر میسر نشد. دانشمندان ۱ سال دیگر به این شرایط ادامه داده تا به موفقیت دست یافتند و آن این بود که در آن سال به علت هجوم پرندگان به دریاچه‌ای در آن نزدیکی و پر زدن آن‌ها در فراز این دریاچه فشاری به جو آمده که این فشار باعث آن گردیده‌است که

دستگاه‌های اندازه‌گیری برخلاف آن چه دیده شده ثبت کنند. دانشمندان بر آن شدند که با استفاده از دستگاه‌هایی نبود پرندگان در فراز این دریاچه را شبیه‌سازی کرده و نتایج را بررسی کنند. آن‌ها پس از بررسی به این نتیجه رسیدند که اگر این پرندگان از آن سال به بعد به آن جا در بالای دریاچه هجوم نمی‌آوردند طوفانی بزرگ در آن منطقه شکل می‌گرفت و باعث تخریب ۱۲ هکتار از این منطقه می‌گردید. در حقیقت پر زدن آن پرندگان باعث می‌شد که شرایط شکل‌گیری این طوفان پیش نیاید و در واقع مهم‌ترین اصل نظریه آشوب ایجاد گردید و آن عبارت بود از: پروانه‌ای در آفریقا بال می‌زند و باعث ایجاد گردبادی در آمریکای جنوبی می‌گردد. این اصل بیان می‌کند که کوچک‌ترین تغییر در این جهان باعث بی‌نظمی‌های بزرگی خواهد گردید. در سال ۱۹۶۵ لورنتس مشغول پژوهش روی مدل ریاضی بسیار ساده‌ای که از آب و هوای زمین بود، به یک معادله دیفرانسیل غیر قابل حل رسید وی برای حل این معادله به روش‌های عددی با رایانه متوسل گردید. او برای اینکه بتواند این کار را در روزهای متوالی انجام دهد. نتیجه خروجی هر شب را به عنوان ورودی روز بعد در نظر می‌گرفت. لورنتس در نهایت مشاهده کرد که نتیجه بررسی شده توسط رایانه او خروجی تا ۴ رقم اعشار دارد که این محال بود چون رایانه او اعداد را تا ۶ رقم اعشار نشان می‌داد. پس به بی‌نظمی ایجاد شده در رایانه و آب و هوا دست یافت. این واقعیت غیر ممکن بودن پیش‌بینی آب و هوا در درازمدت را نشان می‌داد.

تولید مثل

دانشمندان این زمینه از علوم در بررسی برای انقضای قورباغه‌ها بودند آن‌ها تعدادی قورباغه را در فضای سربسته نگه داشت و منتظر نابودی آن‌ها بودند که ناگاه مشاهده کردند که این قورباغه‌ها که همگی نر بودند تولید مثل کرده و تعداد آن‌ها بیشتر شده‌است با تحقیقات انجام شده بر روی آن‌ها به این نتیجه رسیدند که قورباغه‌ها در ۶ ماه اول هویت خود را داشته و در ۶ ماه بعدی جنسیت خود را عوض کرده‌اند تا نسل آن‌ها همچنان باقی بماند. این آزمایشات منجر به ایجاد دومین اصل نظریه بی‌نظمی گردید: زندگی برای بقا راه خود را خواهد یافت.

مدل فرکتالی مندلبرت:

وقتی که بر روی تحقیی پیرامون طول سواحل انگلیس مطالعه می‌کرد به این نتیجه رسید که هرگاه در مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود بیشتر از زمانی است که در مقیاس کوچکتر باشد. این بی‌نظمی ایجاد شده باعث ایجاد شاخه ریاضی نظریه بی‌نظمی به نام فرکتال گردید. از لحاظ واژه مندلبرت انتخاب اصلاح فرکتال (fractal) را از واژه لاتین fractus یا fractura (به معنای شکسته) گرفت تا به ماهیت قطعه قطعه شونده که یکی از مشخصه‌های اصلی این فرم است، تاکید داشته باشد. فرهنگستان لغت و زبان فارسی کلمه برخال را برای فرکتال تصویب کرده‌است. کلمه فرکتال به معنی سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد. بی‌نظمی یا آشوب چیست؟ Chaos در لغت به معنای در هم ریختگی، آشفتگی، بی‌نظمی است و مترادف آن در مکانیک Turbulance یا تلاطم می‌باشد. این واژه به معنی فقدان هرگونه ساختار یا نظم است و معمولاً در محاورات روزمره آشوب و آشفتگی نشانه بی‌نظمی و سازمان نیافتگی، ناکارایی و در هم ریختگی به نظر آورده می‌گردد. و جنبه منفی در بر دارد. اما با پیرایش نگرش جدید و روشن شدن ابعاد علمی و نظری آن امروزه دیگر بی‌نظمی و آشوب به مفهوم سازمان نیافتگی و درهم ریختگی تلقی نمی‌گردد. بلکه بی‌نظمی وجود جنبه‌های غیر قابل پیش‌بینی و اتفاقی در پدیده‌های پویاست که ویژگی خاص خود را داراست. بی‌نظمی نوعی نظم غائی در بی‌نظمی است. هیلز در ۱۹۹۰ آشوب را اینگونه تعریف می‌کند: «بی‌نظمی و آشوب نوعی بی‌نظمی منظم یا نظم در بی‌نظمی است بی‌نظمی از این رو که نتایج آن غیر قابل پیش‌بینی است و منظم بدان جهت که از نوعی قطعیت برخوردار است». تعریف هیلز از بی‌نظمی مصداق کلمه لاتین آن است یعنی Orderly Disorder در نظم بی‌نظمی است و در بی‌نظمی نوعی نظم وجود دارد که همان تعریف هیلز است. همچنین آدامس (H.Adams) آشفتگی را اینگونه تعریف می‌کند: از آشفتگی زندگی زائیده می‌شود در حالیکه از نظم عادت به وجود می‌آید. بی‌نظمی در مفهوم علمی یک مفهوم ریاضی محسوب می‌شود که شاید نتوان خیلی دقیق آن را تعریف کرد اما می‌توان آن را نوعی اتفاقی بودن همراه با قطعیت دانست. قطعیت آن به خاطر آن است که بی‌نظمی دلایل درونی دارد و به علت اختلالات خارجی رخ نمی‌دهد، اتفاقی بودن آن به دلیل آن است که رفتار بی‌نظمی، بی‌قاعده و غیر قابل پیش‌بینی است.

ویژگی‌های تئوری آشوب (بی‌نظمی):

اثر پروانه‌ای (Butterfly Effect) ۲. سازگاری پویا (Dynamic Adaptation) ۳. جاذبه‌های غریب (Strange Attractors) ۴. خود مانایی (Self Similarity)

اثر پروانه‌ای:

اثر پروانه‌ای نام پدیده‌ای است که به دلیل حساسیت سیستم‌های آشوب‌ناک به شرایط اولیه ایجاد می‌شود. این پدیده به این اشاره می‌کند که تغییری کوچک در یک سیستم آشوب‌ناک چون جو سیاره‌ی زمین (مثلا بال‌زدن پروانه) می‌تواند باعث تغییرات شدید (وقوع توفان در کشوری دیگر) در آینده شود.
عبارت «اثر پروانه ای» در پی مقاله ای از ادوارد لورنتس بوجود آمد. وی در صد سی و نهمین اجلاس ای‌ای‌ای‌اس در سال ۱۹۷۲ مقاله‌ای با اين عنوان ارائه داد که «آيا بال‌زدن پروانه‌ای در برزيل می‌تواند باعث ايجاد تندباد در تکزاس شود؟
لورنتس در پژوهش بر روی مدل رياضی بسيار ساده‌ای از آب و هوای جو زمين، به معادله‌ی ديفرانسيل غير قابل حل رسيد. وی برای حل اين معادله از روش‌های عددی به کمک رایانه بهره جست. او برای اين‌که بتواند اين کار را در روزهای متوالی انجام دهد، نتيجه آخرين خروجی يک روز را به عنوان شرايط اوليه روز بعد وارد می‌کرد. لورنتس در نهايت مشاهده کرد که نتيجه شبيه‌سازی‌های مختلف با شرايط اوليه يکسان با هم کاملا متفاوت است. بررسی خروجی چاپ شده رایانه نشان داده که رویال مک‌بی (Royal McBee)، رایانه‌ای که لورنتس از آن استفاده می کرد، خروجی را تا ۴ رقم اعشار گرد می‌کند. از آنجایی که محاسبات داخل اين رایانه با ۶ رقم اعشار صورت می گرفت، از بين رفتن دو رقم آخر باعث چنين تاثيری شده بود. مقدار تغييرات در عمل گرد‌کردن نزديک به اثر بال‌زدن يک پروانه است. اين واقعيت غيرممکن بودن پيش‌بینی آب و هوا در دراز مدت را نشان می دهد.
مشاهدات لورنتس باعث پررنگ شدن مبحث نظریه آشوب شد. عبارت عاميانه «اثر پروانه ای» در زبان تخصصی نظریه آشوب، «وابستگی حساس به شرايط اولیه ترجمه می شود  .

  به غير از آب و هوا، در سيستمهای پویای ديگر نيز حساسيت به شرايط اوليه به چشم می خورد. يک مثال ساده، توپی است که در قله کوهی قرار گرفته. اين توپ با ضربه بسيار کمی، بسته به اينکه ضربه از چه جهتی زده شده باشد، می تواند به هرکدام از دره های اطراف سقوط کند . تئوری اغلب سیستم ها                                                                                                                                                                            
در دنيای واقعی طی تکرار يک عمليات مشخص کار می کنند. در مثال آب و هوای لورنتس فرايند گرم شدن سطح زمين از طرف خورشيد و سرد شدن جو از طريق تابش به فضای بیرون، فرايندی است که مدام تکرار می شود. می توان نشان داد که در چنين سيستمی بازه ای از مقادير اوليه با عث ايجاد رفتار آشوبناک می شود. مثال ساده زير را در نظر بگيريد:
برای اينکه نتيجه عملکرد سيستم فوق را بتوانيم بهتر درک کنيم از نموداری به اين شرح استفاده می کنيم. ابتدا تابع y = x2 + c را رسم کرده و خط y = x را نيز روی آن می کشيم. روی نمودار، مقداری اوليه ای برای x0 درنظر می گيريم. مقدار x1 با رسم يک خط عمودی از اين عدد تا نمودار y = x2 + c بدست می آيد. برای بدست آوردن نقطه بعدی بايد مقدار قبلی y را به جای مقدار فعلی x بگذاريم. اين کار با رسم يک خط افقی از نقطه برخورد قبلی تا نمودار y = x انجام می شود. شکلهای زير با در نظر گرفتن x0 = 0 و به ترتيب، از راست به چپ،
رسم شده اند:


مشاهده می شود که با ايجاد تغييرات جزيي در پارامتر، رفتار سيستم کاملا تغيير می کند. به چنين رفتاری «وابستگی حساس به شرايط اوليه» يا «اثر پروانه ای» می گويند.
اگر مجموعه مقاديری که x در طول عملکرد سيستم به خود می گيرد را نسبت به c رسم کنيم، شکل بدست آمده يک فراکتال (برخال) خواهد بود:

تعریف ریا ضی

یک سیستم پویا بانقشه تکامل ft وابستگی حساس به شرایط اولیه دارد، اگر نقاط نزدیک به هم با افزایش t از هم جدا شوند. اگر M فضای حالت نقشه ft باشد، می گوییم ft به شرایط اولیه وابستگی حساس نشان می دهد وقتی که حداقل یک δ>۰ وجود داشته باشد بطوری که به ازای هر نقطه xM و هر همسایگی از N که x را در بر داشته باشد، نقطه ای مانند y در همسایگی N موجود بوده و در زمانی مانند τ رابطه برقرار باشد.
در اين تعریف نیازی نیست که همه نقاط موجود در یک همسایگی، از نقطه مبنای x جدا باشند در رسانه‌ها                                                                       
مفهوم از اثر پروانه‌ای از جهاتی برای داستان‌هایی درباره سفر زمان جذاب است، فیلم اثر پروانه‌ای ساخت نیولاین سینما کاملا از این مفهوم در سفر زمان سود جسته است

همانطور که ذکر گردید با بال زدن یک پروانه در یک کشور آفریقایی ممکن است طوفانی در قاره آمریکا رخ دهد. که این اثر را اثر پروانه‌ای نام‌گذاری کردیم.

 

سازگاری پویا:

سیستم‌های بی‌نظم در ارتباط با محیطشان مانند موجودات زنده عمل می‌کنند و نوعی تطابق و سازگاری پویا بین خود و محیط پیرامونشان ایجاد می‌کنند.

جاذبه‌های غریب:

این جاذبه‌ها نوعی بی‌نظمی در خود دارند که اگر با دقت به آن‌ها بنگریم و نوع دیدگاهمان را نسبت به آن‌ها عوض کنیم. به نظم عمیق آن‌ها پی خواهیم برد. به طور مثال تصاویر هندسی برگرفته شده از قوم اینکا در صحرای پرو حاکی آن است که اگر از نزدیک به آن‌ها بنگریم بی‌نظمی‌ها را نشان می‌دهند اما اگر از دور دست به آن‌ها بنگریم تصاویر معناداری را در ذهن متبادر می‌سازد. این نوع جاذبه‌ها حاوی مطالب مهمی هستند و آن اینست که در نظر اول نباید محیط پیرامون خود را آشوب ناک توصیف کنیم بلکه با تغییر دیدگاه خود می‌توان این آشوب را به یک نظم تبدیل کرد.

خود مانایی:

در تئوری آشوب؛ نوعی شباهت بین اجزا و کل قابل تشخیص است. بدین ترتیب که هر جزئی از الگو همانند و متشابه کل می‌باشد. خاصیت خود مانایی در رفتار اعضای سازمان نیز می‌تواند نوعی وحدت ایجاد کند؛ همه افراد به یکسو و یک جهت و هدف واحدی نظر دارند. این ویژگی ازنظریه بی‌نظمی؛ بیشتر در فرکتال‌ها مورد بررسی قرار می‌گیرد.

نظریه بی‌نظمی در شاخه‌های مختلف ۱. اقتصاد ۲. فیزیک ۳. ریاضی ۴. پرستاری ۵. مدیریت ۶. موسیقی و...

بررسی کوتاه نظریه بی‌نظمی در اقتصاد:

همانطور که گفته شد بعد از پیدایش این نظریه در جهان بشری این نظریه باعث گردید که نوع دیدگاه افراد به مسائل غیر قابل حل و غیر قابل پیش‌بینی عوض گردیده و منجر به ارائه شیوه‌های جدیدی برای مطالعه جریانات بسیار پیچیده که به ظاهر تصادفی و غیر قابل پیش‌بینی به نظر می‌رسد گردد. بیشترین کاربرد آن در اقتصاد پیش‌بینی متغیرهای پولی و مالی و بازارهای جهانی به ویژه بازار نفت و مدل‌های اقتصاد کلان جاری در کشورهای مختلف است. اینکه چگونه یک اقتصاد دان از این وضع آشوب‌ناک استفاده کرده و به سود سرشار دست بیابد بسیار مشکل است چون همانطور که گفته شد اساس این نظریه غیر قابل پیش‌بینی بودن آن است اما اگر نوع دیدگاه انسان به آن عوض شود شاید باعث پیش‌بینی درست از وضعیت سیستم آشوبناک گردد.

بررسی نظریه بی‌نظمی در پرستاری و موسیقی:

ممکن است شما به یک موسیقی گوش داده و از آن لذت فراوانی ببرید آیا می‌دانید تک تک نت‌های این موسیقی ممکن است از بی‌نظمی برخوردار باشند یعنی اگر به نت‌ها به دقت گوش دهید دیگر آن موسیقی آن چنان جذابیت نداشته باشد اما همین نت‌ها هنگامی که کنار هم قرار می‌گیرند موسیقی زیبایی را پایه‌گذاری می‌کنند. اما در مورد پرستاری! شاید برایتان این گفته خنده دار باشد اما باید حتی در مواظبت از بیماران روانی یا افرادی که مشکل روحی دارند باید روشی را در پیش گرفت که همانند ریاضیات به معادله غیر قابل حل روان آنها دست پیدا کرده و آن را حل کنیم تا این بیمار علاج یابد یعنی باید حرکات او را زیر نظر گرفته و با راه حلی آسان آشفتگی‌های او را به نظم تبدیل کرده تا بیمار ما شفا پیدا کند. اما در ریاضیات: همانطور که گفته شد نظریه بی‌نظمی مفهومی ریاضی دارد. حال بر آنیم تا خلاصه‌ای از بحث فرکتال که بی‌ربط با تئوری بی‌نظمی یا آشوب نیست در این جا بیاوریم. چگونگی ایجاد فرکتال‌ها را توضیح دادیم. حال اگر بخواهیم از دید کلی به آن‌ها بنگریم فرکتال‌ها به ۳ دسته تقسیم می‌گردند. ۱- هندسه فرکتالی ۲- فرم فرکتالی ۳- حجم فرکتالی فرکتال‌ها ویژگی‌ها نیز دارند: ۱- خودمانایی ۲- عدم بعد صحیح ۳- در مقیاس کوچک پیچیده‌اند ۴- تابع بازگشتی قبل از آن که ویژگی‌های فرکتال را توضیح دهیم برای یادآوری فرکتال را تعریف می‌کنیم. فرکتال شکل هندسی نامنظمی است که به قسمت‌های تقسیم می‌گردند که این اشکال همه شبیه به هم و همه نشانه‌ای از شکل اصلی هستند مثلا درخت کاج. در درخت کاج هر یک از شاخه‌های آن خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی در مقیاس بسیار کوچکتر همچنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد. یعنی هر شاخه درخت کاج در مقایسی کوچکتر نماینده درخت کاج بزرگتر می‌باشد. فرکتال‌ها ممکن است در طبیعت دیده شوند یا توسط کامپیوتر درست گردند و یا توسط انسان در نقاشی‌ها. فرکتال‌ها از قواعد تکرار یا همان توابع بازگشتی پیچیده درست می‌گردند.

 

آشوب در معده و سیگنالهای معنی دار:

امروزه در بسیاری از مقالات و کتب به روز می‌توان نشانه‌هایی از توجه به این حقیقت را یافت. دانشمندان دریافته‌اند که پردازش و مدلسازی رفتارهای کیاتیک سیستم گوارشی تنها از طریق این گونه ریاضیات قابل دست یابی است.
علم آشوب در بحث Order and Chaos چگونه ما را در مطالعه معده یاری می‌کند؟
این که کیاس می‌تواند ما را در تعیین نوع سلامت یک دینامیک یاری کند، در بیولوژی معنای زیادی دارد. یک اندام سالم در طول زمان در یک بستر جذب دینامیک خود را طی می‌کند و با وجود این که الگوهای خودسازمانده از خود بروز می‌دهد، ولی عدم قطعیت بر آن حاکم است و در شرایط مختلف در جاهای مختلف از بستر جذب خود حرکت می‌کند. در حالی که این تغییرات برای حالت بیمار یا تصادفی است یا به سمت یک حالت کاملاً خاص حرکت می‌کند و رفتار آن می‌تواند کاملاً قابل پیش بینی باشد. در چنین شرایطی قدرت پاسخ‌گویی بی معنا می‌شود.
در معده سالم این رفتارهای خود سازمانده در طول زمان مشاهده می‌شود، اگر چه ریتم‌های حرکات معده بسته به نوع غذا و شرایط فیزیکی و روانی متفاوت، تغییر می‌کند، ولی دینامیک یک معده سالم، در بستر معینی حرکت می‌کند.
ساختارهای فراکتال در علم آشوب چگونه به منظور مطالعه معده مورد استفاده قرار می‌گیرند؟
استفاده از ساختارهای فراکتال در مطالعه معده، از بررسی ساختار فراکتال رگ‌ها و مویرگ‌ها و سیاهرگ‌ها تا مدلسازی عضلات معده و شکل معده و فعالیت آن می‌تواند کاربردی باشد. غذاهای متفاوت با ساختارهای متفاوت در زمان‌های متفاوت از شرایط روحی و جسمی وارد این محفظه کوچک شده و در آن جا با هم مخلوط می‌شوند، اسید روی آن ریخته شده و با اسید معده مخلوط شده و به دلیل وجود همین حرکات معده به جلو رانده می‌شوند.
اگر شکل معده و نحوه حرکات آن به صورتی که وجود دارد نبود چه مشکلاتی پدید می‌آورد و این همان بحث رابطه ساختار با رفتار است؟
مثلاً اگر معده حالت مایل نداشت، غذا سریع‌تر از معده خارج می‌شد و همین امر هضم و جذب غذا را با مشکل مواجه می‌ساخت.
وجود ساختارهای فراکتال گونه در رگ‌های پخش شده در سطح معده نیز قابل مشاهده است.
در حقیقت، یکی از پرکاربردترین مباحثی که در رشته مهندسی پزشکی مطرح است، بحث پردازش سیگنال‌های بیولوژیک است. بدون شک درک رفتار و دینامیک یک سیستم از طریق مشاهده خروجی‌های آن به عنوان اولین روش شناخت می‌تواند مد نظر قرار گیرد. این مسئله در مطالعه سیستم‌های بیولوژیک بیشتر نمود می‌یابد. از آن جا که دستیابی به اندام‌ها (مثلاً به منظور مطالعه رفتار و عملکرد مغز) به آسانی میسر نیست، بعضاً حتی اگر بتوان چنین شرایطی را ایجاد کرد، لزوماً به شناخت صحیحی دست نیافته‌ایم که این معلول قطع تعاملات در چنین شرایطی است.
در نظر گرفتن تعامل بین اجزای سیستم و کل نگری، درک ارتباط دینامیک سیستم و هندسه حاکم بر آن (هندسه و دینامیک از یک مفهوم نشئت گرفته اند)، عدم قطعیت در اندازه گیری‌های سیستم به عنوان خاصیت ذاتی، مفهوم صحیح اطلاعات در یک سیستم و میزان آگاهی ما از این اطلاعات (شرایط ill-defined) به عنوان اصولی که این علم به آن‌ها می‌انجامد، نگرش جدیدی را در پیش روی ما قرار می‌دهند.
آن چه که آشوب در مطالعه ریاضی دینامیک سیستم نشان می‌دهد بسیار شگفت انگیز است. در این علم می‌توان دینامیک سیستم را تنها از روی چند متغیر به دست آورد و می‌توان در معادله ای مثلاً با سه متغیر تنها با داشتن یک متغیر به کل دینامیک دست یافت!!! بدون شک تنها دلیل چنین ادعایی وجود تعاملات در سیستم است. متغیرها بر هم اثر دارند و این تاثیرات نه تنها به صورت علت و معلولی نیست، بلکه منشأ اطلاعاتی دارد.
در این علم، دینامیک واقعی حاکم بر سیستم آشوب‌گونه توصیف می‌شود و تظاهرات تصادفی که در ثبت وجود دارد و بسیاری آن را نویز می‌دانند، در واقع پویایی سیستم است، که شکل تصادفی دارد ولی در دل آن نظمی متعالی به چشم می‌خورد.
حقیقت این است که اطلاعات ما از دینامیک سیستم به صورت ناقص است. آشوب نه تنها این مسئله را نقص در مطالعات می‌داند، بلکه آن را لازمه دینامیک سیستم می‌شمارد! بدین ترتیب مباحثی چون Data Mining و Information Processing در علم نوین در حال گسترش روز افزون است.
واقعیت پدیده‌های بیولوژیک در فضایی از عدم قطعیت اتفاق می‌افتد. فضایی که پدیده رفتارهای پریودیک صرف از خود نشان نمی‌دهد و به منظور حفظ بقای ارگان، نیاز به رفتارهای متنوع اما در رنج محدودی وجود دارد. رنجی که اگر چه تظاهرات تصادفی دارد اما در واقعیت، ارتباطی عمیق را معنا می‌دهد. در این رنج از فعالیت ارگان‌ها و اندام‌ها، حرکاتِ ریتمیک شکل، بروز و ظهور مشخصی ندارند بدین معنا که تپش قلب مطمئناً به صورت پریودیک نخواهد بود. در بررسی آشوب در معده نیز شبیه به قلب رفتارهای ریتمیک داریم که آشوب‌گونه هستند و در ادامه این امر در شبیه سازی‌ها اثبات می‌شود.
با در نظر گرفتن کلی سیستم معده و ثبت فعالیت الکتریکی ناشی از این فعالیت‌ها به منظور درک عملکرد، الگوی spatiotemporal کیاتیک قابل مشاهده است که ناشی از فعالیت‌های متفاوت معده (مخلوط سازی، حل کردن غذا در اسید معده، به جلو راندن و ) است. این سیگنال در اصطلاح gastric   myoelectrical  activity (GMA)  نامیده می‌شود.
نرخ فعالیت معده به صورت کیاتیک است. این تغییرات در ورزش، فشارهای عصبی و روانی، و فعالیت‌های فیزیکی تنوع می‌یابد اگر چه الگوی کیاتیک خود را حفظ می‌کند.
سیگنال هایی که در بررسی‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد از سگ و انسان ثبت شده است که کانال‌های ثبت شده است. الگوهای خودسازمانده قابل مشاهده هستند، اگر چه که این ریتم‌ها شکل کاملاً منظمی ندارند ولی این تغییرات ناشی از نویز نیست، بلکه دینامیک حاکم بر سیستم مسبب آن است که شبیه‌سازی‌ها نیز موید آن است.
این سیگنال‌ها، دارای سه فاز فعالیت هستند. فاز اول که در آن انقباض عضلانی نداریم و spike‌های قابل مشاهده تعداد کمی هستند. فاز دوم که مرحله شروع انقباض است و اسپایکهای بیشتری قابل مشاهده است. فاز سوم که انقباض کلی رخ می‌دهد و اسپایکهای زیادی قابل مشاهده است. مدت زمان ثبت از ۳۰ دقیقه تا ۱۲۰ دقیقه متفاوت است.
الکتروفیزیولوژی و آشوب در معده:
حقیقت و واقعیت نهفته در پشت این سیگنال‌ها چیست؟
پاسخ این سوال در فعالیت کیاتیک سلول‌های معده معنا می‌یابد! شکل ۴ مدلی از سلول‌های معده را نشان می‌دهد که توسط هاجکین-هاکسلی ارائه شده و الگوهای جالبی را از خود بروز می‌دهد.
در فازهای مختلف از فعالیت معده این رفتارها بروز می‌یابند.
دو مشخصه آشوب در آزمایشات بیولوژیک و پدیده‌های زنده قابل مشاهده و توصیف است. بسیاری از فعالیت‌های الکتریکی بیولوژیک چنین الگوهایی را از خود بروز می‌دهند.
۱ Slow Oscillators Omnipresent
۲ Intermittently superimposed with Spiky activity: Fast Oscillation
Spike‌
ها، دارای مولفه‌های فرکانسی بالاتری هستند که occurrence آن‌ها ناپیوسته و تصادفی است. بدین ترتیب Spike‌ها و رفتارهای اسیلاتوری آرام دارای تفاوت هایی در اربیت‌های پریودیک هستند به گونه ای که اربیت‌های پریودیک Spike‌ها ناپایدار است. این تغییر حالت دینامیک سیستم به دلیل وجود تعاملات بین سلول‌های معده است که درجات آزادی سیستم راتغییر داده و رفتاری بروز می‌دهد که در کل متفاوت از اثر تک تک اجزاست. رفتار کیاتیک کل در معده منجر به این همه تنوع در انجام فعالیت‌های گوارشی در این اندام کوچک اما موثر است.
آنالیز بایفورکیشن نشان از تائید و تصدیق آن چیزی است که آن را تحت عنوان تعامل می‌شناسیم. این جا است که مشخصه مورفولوژیکال نیز ما را در درک آن چه علم آشوب به ما می‌آموزد، یاری می‌کند. این آشوب است که نشان می‌دهد نتیجه فعالیت ۱۰۰‌ها میلیون سلول گوارشی در پیکره‌ای به نام معده، متفاوت از فعالیت تک تک آن‌ها است و تعامل درجه آزادی سیستم را کاهش می‌دهد اما تا جایی که قابلیت تطبیق را از بین نرود.
به این ترتیب به منظور پردازش سیگنال‌ها در حوزه آشوب (نگرش کل نگر) و ریاضیاتی کردن آن باید از ویژگی هایی که کلیات دینامیک سیستم توصیف می‌کنند استفاده کرد. از جمله ویژگی‌های کلی سیستم می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:
information and entrop
 lyapunov exponent
correlation dimention

fractal dimentim

      که مورد ۱ و ۲ در ادامه به صورت خلاصه توضیح داده می‌شوند.
آنتروپی و اطلاعات به عنوان ویژگی‌های کلی به حساب می‌آیند که می‌توانند سیستم را هویت‌یابی کنند. در این جا مفهوم آنتروپی شانونی منتفی است و این ناشی از آن است که در سیستم آشوب‌گونه آنتروپی قبض و بسط می‌شود، زیرا مفهوم اطلاعات نیز معنای واقعی خود را دارد. در آنتروپی شانونی که برای سیستم‌های بسته در نظر گرفته می‌شود، اطلاعات سیستم مصرف می‌شود، بنابراین با کاهش اطلاعات آنتروپی افزایش می‌یابد؛ اما در آشوب، اطلاعات در سیستم بعضی از مواقع نه تنها کم نمی‌شود، بلکه افزایش نیز می‌یابد. این افزایش اطلاعات ناشی از تزریق آن به سیستم نبوده بلکه جزء خواص ذاتی محسوب می‌شود. به این ترتیب سیستم باز بوده و با محیط خود تعامل دارد و افزایش آنتروپی به معنای افزایش اطلاعات و درجه آزادی است و متعاقباً تطبیق پذیری سیستم بیشتر خواهد شد که این به معنای افزایش پاسخ گویی سیستم به شرایط جدید و غیرقابل پیش بینی است.
بدین ترتیب معنای احتمالات نیز معنای جدیدی می‌یابد. در معنای شانونی بیت‌های اطلاعاتی دارای مفهوم اطلاعات از نوع شانس بوده و عدم قطعیت در مشاهدات ناشی از اثر محیط روی پارامترهای سیستم است؛ احتمال در این نگرش از نتیجه چندین آزمایش در شرایط استاندارد (بسته فرض کردن سیستم) به دست می‌آید که این گونه بدست آوردن احتمال با نگرشی غیرواقعی است. در حالی که عدم قطعیت در سیستم کیاتیک از نوع عدم قطعیت هایزنبرگی است یعنی اگر چه تغییر پارامتر داریم ولی این تغییرات در کل فضای اطلاعاتی نیست و در یک کلاستر است. در آشوب عدم قطعیت ناشی از ذات سیستم بوده و ناشی از تعاملات و علت و معلول‌های دورانی است.
بنابراین آن چه که آشوب به ما نشان می‌دهد همان ریاضیات مرتبط با کل نگری است که به وسیله آن می‌توان دینامیک واقعی سیستم را شناخت و در جهت حل مسایل به خصوص در حوزه مهندسی پزشکی گام‌های موثرتر و صحیح تری برداشت.
این مفاهیم در ادامه از طریق شبیه سازی مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است.
 بازسازی بستر جذب عجیب:
به منظور بررسی سیگنال در فضای حقیقی باید رفتار آن در فضای نسبیت بررسی شود. رابطه بازگشتی اول و دوم اشاره به همین مفهوم دارد. در این نگرش فضای نسبیت فضای لازم برای درک دینامیک سیستم است. روابط بازگشتی و iterative به صورت علت و معلولی نبوده و نتیجه تعاملات ذاتی از آن جایی که این روابط از دینامیک است.                                              

مثلث خیام:

یکی از بی‌نظمی‌های دیده شده مثلث خیام است. خیام در ریاضیات تبحر خاصی داشت. پس از به وجود آوردن این مثلث توسط خیام، خیام به بی‌نظمی‌هایی در آن پی برد اولین بی‌نظمی در تعداد اعداد خود این جدول بود که با سری، و و ایجاد می‌گردید یعنی سری به صورت زیر ۸ ۸ ۴ ۸ ۴ ۴ ۲ با حذف جملات زوج دیده می‌شود که این سری با همان جملات دیده می‌شود. ۱۶ ۸ ۸ ۴ ۸ ۴ ۴ ۲ همچنین با رنگ کردن اعداد فرد زوج مثلث خیام به مثلث‌هایی با مقیاس‌ کوچکتر اما هم شکل با مثلث بزرگتر تبدیل می‌گردد.یعنی همان تعریف فرکتال.!!که این خود نوعی فرکتال می‌باشد از خواص دیگر این مثلث پیدا کردن اعداد فرد تا سطر n ام است که از بحث در مورد آن صرف نظر می‌کنیم.

نتیجه‌گیری و جمع‌بندی(آشوب)

اصولا هر پدیده درجهان دارای نظمی است ممکن است در ان بی نظمی دیده شود.اما در هر بی نظمی نظمی نهفته وجود دارد که با تغییر دیدگاه ما این بی نظمی به نظمی عمیق تغییر می‌کند. پس سعی کنیم نوع دیدگاه خود را نسبت به عمور جهان عوض کنیم.

كاربرد فراكتال در كامپيوتر:

موجک کاربردها

از فراکتال هابه منظور تسهیل در امور مربوط به مدل‌سازی پیچیدگی در زمینه‌های گو‌ناگون علمی و مهندسی استفاده به عمل می‌آید. از جمله زمینه‌های مهم کاربردی موارد زیر را می‌توان برشمرد:

گرافیک رایانه‌ای

پردازش تصاویر

نظریه موجک‌ها

 (برگرفته از از ویکی‌پدیا، دانشنامه آزاد)

گرافیک رایانه‌ای یا گرافیک کامپیوتری (Computer graphics) :

یکی از قدیمی‌ترین شاخه‌های علوم رایانه است که به ترسیم، تغییر، و کار با تصاویر به شیوه‌های محاسباتی و رایانه‌ای اقدام می‌نماید. گرافیک رایانه‌ای یکی از پرجاذبه‌ترین و وسیع‌ترین کاربردهای رایانه‌هاست. بازیهای رایانه‌ای، برنامه‌های ساخت پویانمایی‌ دوبعدی و سه‌بعدی، شبیه‌سازیهای محاسباتی، و پردازش تصاویر را می‌شود به‌عنوان چند نمونه نام برد.


 

 

         

 

 

قوری یوتا

نرم‌افزارهای گرافیکی

نرم‌افزارهای مورد استفاده در کارهای گرافیکی را می‌توان به دو دسته بزرگ تقسیم کرد:

نرم‌افزارهای با کاربرد ویژه

نرم‌افزارهای عمومی گرافیکی رفته‌تر، به حسابان، معادلات دیفرانسیل، هندسه دیفرانسیل، و روشهای عددی اشاره نمود.

گرافیک دوبعدی

در اینگونه گرافیک، اشکال و اشیاء همه بر روی یک صفحه ترسیم و ارائه می‌شوند. این نوع گرافیک به خاطر پردازش سبکش خیلی به قدرت کارت گرافیک نیاز ندارد و فقط وقت cpu را اشغال می‌کند . برای کار با گرافیک دو بعدی نرم افزار‌هایی ساخته شده مانند فتو شاپ - فتوایمپکت - کورل و غیره که فقط روی گرافیک دو بعدی کار می‌کنند و نرم افزار‌هایی ساخته شده مثل ماکرو مدیا فلش که چند رسانه‌ای هستند .گرافیک دو بعدی در وب سایت‌ها و نرم افزار‌های معمولی به کار می‌رود.

گرافیک سه‌بعدی

گرافیک و صنعت چاپ

امروزه، باید گرافیک و بویژه گرافیک رایانه‌ای را عضو جداناشدنی صنعت مدرن چاپ و نشر رقومی (دیجیتال) دانست. مثلاً، برای چاپ یک کتاب، از مرحله حروف‌چینی و حتی ویرایش گرفته تا زمان لیتوگرافی، چاپ، و صحّافی به نوعی با گرافیک رقومی سر و کار داریم.

کاربردهای مشترک گرافیک سه بعدی :

گرافیک سه بعدی در برنامه‌های کامپیوتری جدید کاربرد بسیاری دارد. استفاده که برنامه‌ها از گرافیک سه بعدی می‌کنند از بازیهای تعاملی سه بعدی تا شبیه سازی و پزشکی و مصارف شغلی متفاوت است. محصولات پر کیفیت سه بعدی راه خودشان را به سمت فیلمها و صنعت و آموزش به خوبی پیدا کرده‌اند.

Real-time 3D : همانگونه که قبلا تعریف شد گرافیک‌های سه بعدی بی‌درنگ متحرک هستند و با کاربر فعل و انفعال دارند. یکی از اولین استفاده‌ها از گرافیک بی‌درنگ سه بعدی شبیه سازی پرواز در امور نظامی بود.

هر چند امروزه شبیه سازهای پرواز به سرگرمی مشهوری برای مشتاقان خانگی تبدیل شده‌اند. تصویر 15-1 یک اسکرین شات از یک شبیه ساز پرواز معروف را نشان می‌دهد که از OpenGL برای رندر سه بعدی استفاده کرده‌است.

برنامه‌ها برای گرافیک سه بعدی بر روی کامپیوترها تقریبا بیشمار هستند. شاید عمومی ترین استفاده از گرافیک کامپیوتری سه بعدی بازیهای رایانه‌ای باشند. امروزه به سختی می‌توان کامپیوتری را یافت که نیاز به یک کارت گرافیک سه بعدی نداشته باشد. سه بعدی همیشه برای تجسمات علمی و برنامه‌های مهندسی معروف بوده‌است. رابط‌های گرافیکی نرم افزاری هم از سخت افزار سه بعدی استفاده فراوان می‌برند. برای مثال ورژن کنونی سیستم عامل مکینتاش یعنی Mac OS X برای رندر کردن تمام پنجره‌ها و کنترل‌ها و جلوه‌های تصویری از OpenGL استفاده می‌کند. تصاویر 16-1 ال 20-1 تعدادی از برنامه‌های بیشماری را نشان می‌دهد که برای رندر تصاویرشان و تولید تصاویر سه بعدی تعاملی از OpenGL استفاده می‌کنند.

گرافیک سه بعدی غیر همزمان Non-Real-Time : برای برنامه‌هایی که از گرافیک سه بعدی بی‌درنگ استفاده می‌کنند قانونی وجود دارد. با دادن فرصت بیشتری برای پردازش تصاویر شما می‌توانید گرافیک‌های سه بعدی با کیفیت بالاتری ایجاد نمایید. به طور مثال بعضی از نرم افزارهای مدل سازی از گرافیک سه‌بعدی بی‌درنگ برای تقابل با هنرمند برای خلق محتوای مورد نظرش استفاده می‌کنند. سپس تصاویر به برنامه دیگری فرستاده می‌شوند (ray tracer) که تصاویر را رندر می‌کنند. رندر کردن یک فریم تنها برای انیمیشنی مانند داستان اسباب بازی به ساعتها زمان بر روی یک کامپیوتر سریع نیاز دارد. این پروسه رندر و ذخیره سازی صدها فریم یک انیمیشن را می‌سازد که بطور رشته متوالی قابل پخش مجدد می‌باشد. اگرچه پخش تصاویر انیمیشن ممکن است یک عمل بی‌درنگ به نظر برسد اما اینطور نیست. چون آن اینتراکتیو نیست در نتیجه آن بی‌درنگ نیست بلکه بیشتر یک سری تصاویر از پیش رندر شده می‌باشد.

پردازش تصویر

Halftone example black and white.png

پردازش تصاویر امروزه بیشتر به موضوع پردازش تصویر دیجیتال گفته می‌شود که شاخه‌ای از دانش رایانه است که با پردازش سیگنال دیجیتال که نماینده تصاویر برداشته شده با دوربین دیجیتال یا پویش شده توسط پویشگر هستند سر و کار دارد.

پردازش تصاویر دارای دو شاخه عمده بهبود تصاویر و بینایی ماشین است. بهبود تصاویر دربرگیرنده روشهایی چون استفاده از فیلتر محوکننده و افزایش تضاد برای بهتر کردن کیفیت دیداری تصاویر و اطمینان از نمایش درست آنها در محیط مقصد(مانند چاپگر یا نمایشگر رایانه)است، در حالی که بینایی ماشین به روشهایی می‌پردازد که به کمک آنها می‌توان معنی و محتوای تصاویر را درک کرد تا از آنها در کارهایی چون رباتیک و محور تصاویر استفاده شود.

در معنای خاص آن پردازش تصویر عبارتست از هر نوع پردازش سیگنال که ورودی یک تصویر است مثل عکس یا صحنه‌ای از یک فیلم.خروجی پردازشگر تصویر می‌تواند یک تصویر یا یک مجموعه از نشانهای ویژه یا متغیرهای مربوط به تصویر باشد.اغلب تکنیک‌های پردازش تصویر شامل برخورد با تصویر به عنوان یک سیگنال دو بعدی و بکاربستن تکنیک‌های استاندارد پردازش سیگنال روی آنها می‌شود. پردازش تصویر اغلب به پردازش دیجیتالی تصویر اشاره می‌کند ولی پردازش نوری و آنالوگ تصویر هم وجود دارند.این مقاله در مورد تکنیک‌های کلی است که برای همه آنها به کار می‌رود.

عملیات اصلی در پردازش تصویر

تبدیلات هندسی: همانند تغییر اندازه، چرخش و...

رنگ: همانند تغییر روشنایی، وضوح و یا تغییر فضای رنگ

ترکیب تصاویر : ترکیب دو و یا چند تصویر

فشرده سازی تصویر : کاهش حجم تصویر

قطعه بندی تصویر : تجزیه تصویر به قطعات با معنی

تفاوت تصاویر : به دست آوردن تفاوت‌های تصویر

میانگین گیری : به دست آوردن تصویر میانگین از دو تصویر

فشرده‌سازی تصاویر

برای ذخیره‌سازی تصاویر باید حجم اطلاعات را تا جایی که ممکن است کاهش داد و اساس تمام روش‌های فشرده‌سازی کنار گذاردن بخش‌هایی از اطلاعات و داده‌ها است.

ضریب یا نسبت فشرده‌سازی است که میزان و در صد کنار گذاشتن اطلاعات را مشخص می‌کند. این روش ذخیره‌سازی و انتقال اطلاعات را آسان‌تر می‌کند و پهنای‌باند و فرکانس مورد نیاز کاهش می‌یابد.

امروزه روش‌هایی متعدد و پیشرفته برای فشرده‌سازی وجود دارد. فشرده‌سازی تصویر از این اصل مهم تبعیت می‌کند که چشم انسان حد فاصل دو عنصر تصویری نزدیک به هم را یکسان دیده و تمایز آنها را نمی‌تواند تشخیص دهد. همچنین اثر نور و تصویر برای مدت زمان معینی در چشم باقی مانده و از بین نمی‌رود که این ویژگی در ساخت تصاویر متحرک مورد توجه بوده‌است.

روش JPEG

نام این فرمت در واقع مخفف کلمات JOINT PHOTOGRAPHIC EXPERT GROUP است. از این روش در فشرده‌سازی عکس و تصاویر گرافیکی ساکن استفاده می‌شود JPEG اولین و ساده‌ترین روش در فشرده‌سازی تصویر است به همین دلیل در ابتدا سعی شد برای فشرده‌سازی تصاویر متحرک مورد استفاده قرار گیرد. برای این منظور تصاویر به صورت فریم به فریم مانند عکس فشرده می‌شدند وبا ابداع روش MOTION JPEG برای ارتباط دادن این عکس‌ها به هم تلاش شد که با مشکلاتی همراه بود.

روش MPEG

نام این فرمت مخفف عبارت MOVING PICTURE EXPERT GROUP است. این روش در ابتدای سال ۹۰ ابداع شد و در آن اطلاعات تصویر با سرعت حدود ۵/۱ مگابیت بر ثانیه انتقال پیدا می‌کرد که در تهیه تصاویر ویدئویی استفاده می‌شد. با این روش امکان ذخیره حدود ۶۵۰ مگابایت اطلاعات معادل حدود ۷۰ دقیقه تصویر متحرک در یک دیسک به وجود آمد. در MPEG بیت‌های اطلاعات به صورت سریال ارسال می‌شوند و به همراه آنها بیت‌های کنترل و هماهنگ‌کننده نیز ارسال می‌شوند که موقعیت و نحوه قرارگیری بیت‌های اطلاعاتی را برای انتقال و ثبت اطلاعات صدا و تصویر تعیین می‌کند.

روش MP۳

MP۳ نیز روشی برای فشرده سازی اطلاعات صوتی به ویژه موسیقی است که از طریق آن حجم زیادی از اطلاعات صوتی در فضای نسبتاً کوچکی ذخیره می‌شود.

روش MPEG۲

در روش MPEG۲ از ضریب فشرده‌سازی بالاتری استفاده می‌شود و امکان دسترسی به اطلاعات ۳ تا ۱۵ مگابیت بر ثانیه‌است از این روش در دی‌وی‌دی‌های امروزی استفاده می‌شود در اینجا نیز هر فریم تصویری شامل چندین سطر از اطلاعات دیجیتالی است.

روش MPEG ۴

از این روش برای تجهیزاتی که با انتقال سریع یا کند اطلاعات سرو کار دارند استفاده می‌شود. این روش توانایی جبران خطا و ارائه تصویر با کیفیت بالا را دارد. مسئله خطا و جبران آن در مورد تلفن‌های همراه و کامپیوترهای خانگی و لپ‌تاپ‌ها و شبکه‌ها از اهمیت زیادی برخوردار است. در شبکه‌های کامپیوتری باید تصویر برای کاربرانی که از مودم‌های سریع یا کند استفاده می‌کنند به خوبی نمایش داده شود، در چنین حالتی روش MPEG ۴ مناسب است. از این روش در دوربین‌های تلویزیونی نیز استفاده می‌شود. ایده اصلی این روش تقسیم یک فریم ویدئویی به یک یا چند موضوع است که مطابق قاعده خاصی کنار هم قرار می‌گیرند مانند درختی که از روی برگ‌های آن بتوان به شاخه تنه یا ریشه آن دست یافت. هر برگ می‌تواند شامل یک موضوع صوتی یا تصویری باشد. هر کدام از این اجزا به صورت مجزا و جداگانه قابل کپی و یا انتقال هستند. این تکنیک را با آموزش زبان می‌توان مقایسه کرد.

همان‌طوری‌که در آموزش زبان کلمات به صورت مجزا و جداگانه قرار داده می‌شوند و ما با مرتب کردن آن جملات خاصی می‌سازیم و می‌توانیم در چند جمله، کلمات مشترک را فقط یک‌بار بنویسیم و هنگام مرتب کردن آن‌ها به کلمات مشترک رجوع کنیم، در اینجا هم هر یک از این اجزا یک موضوع خاص را مشخص می‌کند و ما می‌توانیم اجزا مشترک را فقط یک‌بار به کار ببریم و هنگام ساختن موضوع به آنها رجوع کنیم. هر یک از موضوعات هم می‌توانند با موضوعات دیگر ترکیب و مجموعه جدیدی را بوجود آورند. این مسئله باعث انعطاف‌پذیری و کاربرد فراوان روش MPEG۴ می‌شود. برای مثال به صحنه بازی تنیس توجه کنید. در یک بازی تنیس می‌توان صحنه را به دو موضوع بازیکن و زمین بازی تقسیم کرد زمین بازی همواره ثابت است بنا بر این بعنوان یک موضوع ثابت همواره تکرار می‌شود ولی بازیکن همواره در حال حرکت است و چندین موضوع مختلف خواهد بود. این مسئله سبب کاهش پهنای باند اشغالی توسط تصاویر دیجیتالی می‌شود. توجه داشته باشید که علاوه بر سیگنال‌های مربوط به این موضوعات سیگنال‌های هماهنگ کننده‌ای هم وجود دارند که نحوه ترکیب و قرارگیری صحیح موضوعات را مشخص می‌کند.

 

 

تصاویر رقومی(دیجیتالی)

تصاویر سنجش شده که از تعداد زیادی مربعات کوچک(پیکسل) تشکیل شده‌اند. هر پیکسل دارای یک شماره رقمی(Digital Number) می‌باشد که بیانگر مقدار روشنایی آن پیکسل است. به این نوع تصاویر، تصاویر رستری هم می‌گویند.تصاویر رستری دارای سطر و ستون میاشند.

مقادیر پیکسلها

مقدار انرژی مغناطیسی که یک تصویر رقومی به هنگام تصویر برداری کسب می‌کند، رقم‌های دوتایی(Digit binary) یا بیت ها(Bits) را تشکیل می‌دهند که از قوه صفر تا ۲ ارزش گذاری شده‌است.هر بیت، توان یک به قوه ۲ (۱بیت=۲۱)می‌باشد. حداکثر تعداد روشنایی بستگی به تعداد بیت‌ها دارد. بنابراین ۸ بیت یعنی ۲۵۶ شماره رقومی که دامنه‌ای از ۰ تا ۲۵۵ دارد.به همین دلیل است که وقتی شما تصویر رستری از گیرنده خاصی مانند TM را وارد [[نرم افزار]]ی می‌کنید تغییرات میزان روشنایی را بین ۰ تا ۲۵۵ نشان می‌دهد.

دقت تصویر

دقت تصویر بستگی به شماره پیکسل‌ها دارد.با یک تصویر ۲ بیتی، حداکثر دامنه روشنایی ۲۲ یعنی ۴ می‌باشد که دامنه آن از ۰ تا ۳ تغییر می‌کند.در این حالت تصویر دقت (تفکیک پذیری لازم) را ندارد.تصویر ۸ بیتی حداکثر دامنه ۲۵۶ دارد و تغییرات آن بین ۰ تا ۲۵۵ است.که دقت بالاتری دارد.

روش‌های پردازش تصاویر

 کاربرد پردازش تصویر در زمینه‌های مختلف

امروزه با پیشرفت سیستمهای تصویر برداری و الگوریتمهای پردازش تصویر شاخه جدیدی در کنترل کیفیت و ابزار دقیق به وجود آمده‌است.و هر روز شاهد عرضه سیستمهای تصویری پیشرفته برای سنجش اندازه، کالیبراسیون، کنترل اتصالات مکانیکی، افزایش کیفیت تولیدو........هستیم.

 

 

 

اتوماسیون صنعتی

با استفاده از تکنیکهای پردازش تصویر می‌توان دگرگونی اساسی در خطوط تولید ایجاد کرد. بسیاری از پروسه‌های صنعتی که تا چند دهه پیش پیاده سازیشان دور از انتظار بود، هم اکنون با بهرگیری از پردازش هوشمند تصاویر به مرحله عمل رسیده‌اند. از جمله منافع کاربرد پردازش تصویر به شرح زیر است.

افزایش سرعت و کیفیت تولی

کاهش ضایعات

اصلاح روند تولید

گسترش کنترل کیفیت

ماشین بینایی و پردازش تصویر در اتوماسیون صنعتی

کنترل ماشین آلات و تجهیزات صنعتی یکی از وظایف مهم در فرآیندهای تولیدی است. بکارگیری کنترل خودکار و اتوماسیون روزبه روز گسترده تر شده و رویکردهای جدید با بهره گیری از تکنولوژی‌های نو امکان رقابت در تولید را فراهم می‌سازد. لازمه افزایش کیفیت و کمیت یک محصول، استفاده از ماشین آلات پیشرفته و اتوماتیک می‌باشد. ماشین آلاتی که بیشتر مراحل کاری آنها به طور خودکار صورت گرفته و اتکای آن به عوامل انسانی کمتر باشد. امروزه استفاده از تکنولوژی ماشین بینایی و تکنیک‌های پردازش تصویر کاربرد گسترده‌ای در صنعت پیدا کرده‌است و کاربرد آن بویژه در کنترل کیفیت محصولات تولیدی، هدایت روبات و مکانیزم‌های خود هدایت شونده روز به روز گسترده تر می‌شود.

عدم اطلاع کافی مهندسین از تکنولوژی ماشین بینایی و عدم آشنایی با توجیه اقتصادی بکارگیری آن موجب شده‌است که در استفاده از این تکنولوژی تردید و در بعضی مواقع واکنش منفی وجود داشته باشد. علی رغم این موضوع، ماشین بینایی روز به روز کاربرد بیشتری پیدا کرده و روند رشد آن چشمگیر بوده‌است. عملیات پردازش تصویر در حقیقت مقایسه دو مجموعه عدد است که اگر تفاوت این دو مجموعه از یک محدوده خاص فراتر رود، از پذیرفتن محصول امتناع شده و در غیر این‌صورت محصول‌ پذیرفته می‌شود. در زیر پروژه‌هایی که در زمینه پردازش تصاویر پیاده سازی شده‌است، توضیح داده می‌شود. این پروژه‌ها با استفاده از پردازش تصویر، شمارش و اندازه گیری اشیا، تشخیص عیوب، تشخیص ترک، دسته بندی اشیا و عملیات بیشمار دیگری را انجام می‌دهند:

اندازه گیری و کالیبراسیون

جداسازی پینهای معیوب

بازرسی لیبل و خواندن بارکد

بازرسی عیوب چوب

بازرسی قرص

بازرسی و دسته بندی زعفران

درجه بندی و دسته بندی کاشی

بازرسی میوه

کالیبراسیون و ابزار دقیق

اندازه گیری دقیق و سنجش فواصل کوچک یکی از دغدغه‌هاي اصلی در صنایع حساس می‌باشد.دوربینهای با کیفیت امکان کالیبراسیون با دقت بسیار بالا در حد میکرون را فراهم آورده‌اند.

حمل و نقل

تشخیص شماره پلاک خودرو

نرم افزار شمارش خودروهای عبوری از عرض خیابان

بی شک یکی از مؤثر ترین مولفه‌ها در مدیریت و برنامه ریزی دسترسی به آمار دقیق می‌باشد. درصورت وجود آمار دقیق و سریع می‌توان از روشهای کنترل بهینه استفاده کرد و بهره وری را افزایش داد. به عنوان مثال اگر آمار دقیقی از میزان مصرف یک محصول غذایی وجود داشته باشد با برنامه ریزی مناسب می‌توان زمینه تولید و عرضه اصولی آن را فراهم کرد. لذا احتمال نابسامانی در بازار و متضرر شدن کشاورز و مصرف کننده کاهش می‌یابد. چنان که بیان شد مهمترین فاکتور در برنامه ریزی دسترسی به آمار مناسب است اما تهیه آمار فرایند پیچیده و وقت گیر است و معمولا هزینه زیادی را در بر دارد. به عنوان مثال به دلایلی از جمله کنترل ترافیک یا کنترل میزان روشنایی خیابان باید خودروهای عبوری از خیابان شمارش شوند. این کار اگر به صورت دستی یا انسانی انجام شود، هزینه زیادی نیاز دارد، امکان سهل انگاری انسانی نیز وجود دارد پس استفاده از یک دستگاه مناسب که توانایی شمارش خودروهای عبوری را داشته باشد تنها گزینه ممکن است. با توجه به نیاز فوق نرم افزاری تهیه شده‌است که با استفاده از تصاویر گرفته شده از عرض خیابان خودروهای عبوری را تشخیص می‌دهد و تعداد آنها را شمارش می‌کند. این نرم افزار امکان استفاده در روز یا شب را دارا می‌باشد. شمایی از این نرم افزار در زیر نشان داده شده‌است

موجک یا ویولت (Wavelet) دسته‌ای از توابع ریاضی هستند که برای تجزیه سیگنال پیوسته به مؤلفه‌های فرکانسی آن بکار می‌رود که رزولوشن هر مؤلفه برابر با مقیاس آن است. تبدیل موجک تجزیه یک تابع بر مبنای توابع موجک می‌باشد. موجک‌ها (که به عنوان موجک‌های دختر شناخته می‌شوند) نمونه‌های انتقال یافته و مقیاس شده یک تابع (موجک مادر) با طول متناهی و نوسانی شدیداً میرا هستند. چند نمونه موجک مادر در شکل زیر نمایش داده شده‌اند.

مِیِر

مورله

کلاه مکزیکی

 

نکته‌ها و اشارات:

موجک‌ها نوعی فراکتال [۱] به حساب می‌آیند. مهمترین انگیزه و علت پیدایش و رواج فراکتال‌ها را باید نیاز روزافزون مهندسی علوم و محاسبات به ابداع ابزار و روش‌های مؤثرتر برای مواجهه با پیچیدگی و مدیریت آن ذکر کرد.

تبدیل‌های موجک

تعداد زیادی تبدیل موجک وجود دارد که لیست آن را می‌شود در فهرست تبدیل‌های مرتبط با موجک مشاهده نمود. معمول‌ترین این تبدیل‌ها عبارتند از:

تبدیل موجک پیوسته (Continuous wavelet transform (CWT

تبدیل موجک گسسته Discrete wavelet transform (DWT)

تبدیل سریع موجک Fast wavelet transform (FWT)

Lifting scheme

تجزیه بسته‌های موجکWavelet packet decomposition (WPD)

تبدیل موجک ساکن Stationary wavelet transform (SWT)

موجک‌ها و معادلات اتساع

موجک‌ها بر مبنای دو عمل اصلی قرار دارند:

انتقال (Translation)

 W(x) --> W(x + a)\!

اتساع (Dilation)

 W(x) --> W(bx)\!

مقایسه با تبدیل فوریه

در مقایسه با تبدیل فوریه می‌توان گفت که تبدیل موجک دارای خصوصیت محلی‌سازی بسیار خوبی است. بطور مثال تبدیل فوریه یک پیک تیز دارای تعداد زیادی ضریب است، چرا که توابع پایه تبدیل فوریه توابع سینوسی و کسینوسی هستند که دامنه آنها در کل بازه ثابت است، در حالی که توابع موجک توابعی هستند که بیشتر انرژی آنها در بازه کوچکی متمرکز شده‌است و به سرعت میرا می‌شوند.[۲]

تاریخچه

در تاریخ ریاضیات مبادی و ریشه‌های متعددی را می‌توان برای موجک‌ها سراغ گرفت.

کارهای قبل از ۱۹۳۰

مربوط به قبل از ۱۹۳۰ (م) می‌توان به آنالیز فرکانس‌ها اشاره کرد، که به وسیله فوریه شروع شد.

استفاده از واژه موجک‌ها، برای اولین بار، در یکی از ضمیمه‌های تز آلفرد هار (۱۹۰۹ م) ظاهر شد. امروزه هم، این موجک‌ها به همان نام یعنی به موجک‌های هار معروف اند. موجک‌های هار دارای دامنه تعریف فشرده (compact) بوده، و غیر مشتق‌پذیر به صورت پیوسته هستند.

کارهای مربوط به دهه ۱۹۳۰

در این دهه چند گروه پیرامون موضوع نمایش توابع با به کارگیری پایه‌های با مقیاس متغیر برای تنیدن فضاهای توابع تحقیق می‌نمودند.

موجک‌های متعامد

با دیدی کلی می‌توان اظهار داشت که پایه‌های متعامد حالتی بهینه برای تنیدن فضاهای برداری (چه فضاهای با ابعاد متناهی و چه فضاهای بی نهایت بعدی) و انجام محاسبات ارائه می‌نمایند. لذا همواره تمایل و تلاش در این راستا قرار داشته که یا مجموعه پایه‌ها از آغاز متعامد انتخاب شود و یا آن که با شیوه‌هایی نظیر گرام اشمیت آنها را به سوی تعامد سوق داد.

موجک هار

موجک هار اولین موجک شناخته شده می‌باشد که پیدایش آن به سالهای ابتدای قرن بیستم باز می‌گردد. این موجک ساده ترین نوع هم هست و پایه‌هایی متعامد برای تنیدن فضای محاسبه را ارائه می‌دهد.

 (موجک‌ها و معادلات اتساع: مقدمه‌ای کوتاه، گیلبرت استرنگ)

در کل در مورد کاربرد فراکتال در کامییوتر میتوان گفت:

اين روزها از فراکتالها به عنوان يکي از ابزارهاي مهم در گرافيک رايانه اي نام مي برند، اما هنگام پيدايش اين مفهوم جديد بيشترين نقش را در فشرده سازي فايلهاي تصويري بازي کردند.

فراکتالها ابعادي کسري دارند و دقيقا به دليل همين خاصيت ويژه اي که دارند، زماني توانستند روشي براي ذخيره سازي تصاوير ارائه دهند. معمولا زماني که يک تصوير گرافيکي قرار است به شکل يک فايل تصويري ذخيره شود، بايد مشخصات هرنقطه از آن (شامل محل قرار گيري پيکسل و رنگ آن به صورت داده هايي عدي ذخيره شود و زماني که يک مرور گر بخواهد اين فايل را براي شما به تصوير بکشد و نمايش دهد، بايد بتواند اين کدهاي عدي را به ويژگيهاي گرافيکي تبديل کند و آن را به نمايش بگذارد. مشکلي که در اين کار وجود دارد، حجم بالايي از داده ها ست که بايد از سوي نرم افزار ضبط کننده و توليد کننده بررسي شود.

اگر بخواهيم تصوير نهايي ما کيفيتي عالي داشته باشد،نيازمند آنيم که اطلاعات هريک از نقاط تشکيل دهنده تصاوير را با دقت بالايي مشخص و ثبت کنيم و اين حجم بسيار بالايي از حافظه را به خود اختصاص مي دهد، به همين دليل ، روشهايي براي فشرده سازي تصوير ارائه مي شود.

اگر نگاهي به فايلهايي که با پسوندهاي مختلف ضبط شده اند، بيندازيد متوجه تفاوت فاحش حجم آنها مي شويد. برخي از اين فرمتها با پذيرفتن افت کيفيت بين تصوير توليدي و آنچه آنها ذخيره مي کنند، عملا اين امکان را در اختيار مردم قرار مي دهند، که بتوانند فايلها و تصاوير خود را روي فلاپي ها و با حجم کمتر ذخيره کنند يا روي اينترنت قرار دهند.

براي اين فشرده سازي از روشهاي مختفي استفاده مي شود. درواقع در اين فشرده سازي ها بر اساس برخي الگوريتم هاي کار آمد سعي مي شود به جاي ضبط تمام داده هاي يک پيکسل مشخصات اساسي از يک ناحيه ذخيره شود، که هنگام باز سازي تصوير نقشي اساسي تر را ايفا مي کنند.

در اينجاست که روش فراکتالي اهميت خود را نشان مي داد. در يکي از روشهايي که در اين باره مطرح شد و با استقبال بسيار خوبي از سوي طراحان مواجه شد، روش استفاده از خاصيت الگوهاي فراکتالي بود. در اين روش از اين ويژگي اصلي فراکتالها استفاده مي شد که جزيي از يک تصوير در کل آن تکرار مي شود.براي درک بهتر به يک مثال نگاهي بيندازيم. فرض کنيد تصويري از يک برگ سرخس تهيه کرده ايد و قصد ذخيره کردن آن را داريد.

همان طور که قبلا هم اشاره شد، اين برگ ساختاري کاملا فراکتالي دارد؛ يعني اجزاي کوچک تشکيل دهنده در ساختار بزرگ تکرار مي شود.

بخشي از يک برگ کوچک ،برگ را مي سازد و کنار هم قرار گرفتن برگها ساقه اصلي را تشکيل مي دهد. اگر بخواهيم تصوير اين برگ را به روش عادي ذخيره کنيم ، بايد مشخصات ميليون ها نقطه اين برگ را دانه به دانه ثبت کنيم ، اما راه ديگري هم وجود دارد. بياييد و مشخصات تنها يکي از دانه هاي اصلي را ضبط کنيد. در اين هنگام با اضافه کردن چند عملگر رياضي ساده بقيه برگ را مي توانيد توليد کنيد.

در واقع ، با در اختيار داشتن اين بلوک ساختماني و اعمال عملگرهايي چون دوران حول محورهاي مختلف ، بزرگ کردن يا کوچک کردن و انتقال مي توان حجم تصوير ذخيره شده را به طور قابل توجهي کاهش داد.

در اين روش نرم افزار نمايشگر شما هنگامي که مي خواهد تصوير را بازسازي کند، بايد ابتدا بلوک کوچک را شبيه سازي کرده ، سپس عملگرهاي رياضي را روي آن اعمال کند، تا نتيجه نهايي حاصل شود.

به نظر مي رسد اين روش مي تواند حجم نهايي را به شکل قابل ملاحظه اي کاهش دهد، اما تنها يک مشکل کوچک وجود دارد و آن هم اين نکته است که همه اشياي اطراف ما برگ سرخس نيستند و بنابراين الگوهاي تکرار در آنها هميشه اينقدر آشکار نيست.

بنابراين بايد روشي بتواند الگوهاي فراکتالي حاضر در يک تصوير را شناسايي کنند و در صورت امکان آن را اعمال کند.

به همين دليل ، معمولا روش فراکتالي با روشهاي فشرده سازي ديگر همزمان به کار برده مي شود؛ يعني اگر الگوهاي تکرار چندان پررنگ نبودند، بازهم فشرده سازي امکانپذير باشدالبته زياد نگران ناکارامدي اين روش نباشيد. يادتان نرود، شما در جهاني زندگي مي کنيد که براساس يافته جديد ساختاري آشوبناک دارد.

اینها فیلم های خیره کننده ای هستند که می توانند تغییرات بزرگنمایی را به تصویر بکشند همین طور که تماشا کننده در عمق غیر قابل تصور شکل های فراکتالی تمرکز می کند.
این فیلم های تمرکزی که دارای دامنه وسیع تر از حد جهان هستندمی توانند به آسانی به وجود بیایند. مشاهده شکل هایی که دایماً در حال تغییرهستند و سعی در فهمیدن تغییر در مقیاس می تواند شگفت انگیز باشد.

معمولا زماني كه يك تصوير گرافيكي قرار است به شكل يك فايل تصويري ذخيره شود بايد مشخصات هر نقطه از آن به صورت داده هاي عددي ذخيره شود. در اين فشرده سازي ها بر اساس برخي الگوريتم هاي کار آمد سعي مي شود به جاي ضبط تمام داده هاي يک پيکسل مشخصات اساسي از يک ناحيه ذخيره شود، که هنگام باز سازي تصوير نقشي اساسي تر را ايفا مي کنند. بابهره گيري از آناليز كامپيوتري براي تفسير و تحليل تابلوهاي نقاشي جكسون پولاك، لكه ها و چكه هاي معروف اين هنرمند فرمهاي فراكتاكي ای را تصوير مي كنند، شبيه به فرمهايي كه در طبيعت در درختان، ابرها و خطوط ساحلي به چشم مي خورد. کامپیوترها می توانند یک شکل واقعی را بگیرند و با انجام تکرار زیاد به آن شکل تخیلی بدهند . یک معادله ی فراکتال می توان ساخت که شکل ابرها را بسازد . در فیلم ها ی متعددی از فراکتال ها برای چشم انداز پشت صحنه استفاده می کنند.

جـــمـــع بــنــــدی :

ودر آخراینکه میدانیم برای اینکه تابعی مشتق پذیر باشه شرط پیوستگی لازم ولی ناکافیه٬البته عموما توابع پیوسته بجز در بعضی نقاط خاص در بقیه نقاط مشتق پذیرن. وایرشتراس ریاضیدان با ارائه ی تابعی که همه جا پیوسته بود ولی هیچ جا مشتق پذیر نبود دنیای ریاضیات رو تکان داد!!! اون زمانها نمیتونستند این تابع که یک سری نامتناهی هست رو بطور شهودی رسم کنند اما امروزه با وقتی با کامپیوتر این تابع رو رسم میکنند یک فراکتال حاصل میشه!!!  

هندسه فراکتال بر بسياري از اشکال عالم حاکم است ؛ حتي اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد. تئوري فرکتالها علاوه بر زيبايي خاصي که از ديد رياضي دارد يکي از روشهاي بسيار کاربردي در تفسير و مدلسازي طبيعت مي باشد. آشنايي با فرکتالها به هنرمندان اجازه مي دهد تا آثار هنري بسيار زيبايي را خلق کنند.
کشف مفاهیم فرکتالی ابزاری نیرومند در اختیار دانشمندان برای همسنجی پدیده‌های پیچیده طبیعی قرار داد.

بطور کلی هدف علوم علی الخصوص علوم پایه٬پیدا کردن یه مدل ریاضی از رخدادهای دنیای واقعیه تا بتونن با استفاده از اون مدل خواص اون رخداد رو بهتر بررسی کنند.مثلا یکی از کاربردهای فراکتال مدل بندی ترافیک شبکه های مخابراتیه.تا چند سال پیش ترافیک شبکه های مخابراتی از توزیع پواسون تبعیت میکرد. تا چند سال قبل که شبکه های مخابراتی اعم از تلفن ثابت و تلفن همراه و اینترنت و ... مثل امروز اینقدر گسترده نبودند ترافیک اونها رو با استفاده از توزیع پواسون مدل بندی میکردن اما الان اونقدر ترافیک این شبکه ها زیاد شده که دیگه توزیع پواسون جوابگو نیست و دانشمندان از فراکتالهای بسیار پیچیده برای این کار استفاده میکنن. با  استفاده از فركتال ها به راحتي مي توان نوار قلب بيماران را تفسير كرد و حتي احتمال بروز حمله قلبي در آنها را حدس زد و از آن جلوگيري كرد.ممكن است روزي فركتال ها در فهميدن چگونگي كار مغز يا ارگانيسم بدن بسيار كارا و مؤثر واقع شوند پيدا كردن پيوندهاي بين علم و زندگي، آن رويي از سكه است كه متاسفانه در كشور ما اصلاً به آن توجهي نمي شود.

 

منـــابـــع :

http://edu.tebyan.net/math/fractal/

http://hendese.blogfa.com/

http://mathforum.org/sum95/suzanne/

http://www.memaran.ir/index.php

http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/

http://sprott.physics.wisc.edu/fractals/arigiedm.gif

http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/fracintro/
http://www.math.umass.edu/~mconnors/fractal/fractal.html
http://www.geom.uiuc.edu/java/LeapFractal/ http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/fracintro/http://www.math.umass.edu/~mconnors/fractal/fractal.html

http://www.geom.uiuc.edu/java/

http://mathforum.org/alejandre/workshops/fractal/fractal3.htm

 

 


 

 

 

 

            (مهندسي نرم افزار كامپيوتر)

 

موضوع ارائه:

آشنايي با فراكتال و كاربرد هاي آن

استاد مربوطه:

جناب آقاي عزیزی

 

فهرست مطالب:

 

مقدمه :

همه جا فراکتال!

هندسه فراکتالي ديدگاه شما به طبيعت و محيط پيرامونتان را به طور کلي تغيير خواهد داد. گاليله مي‌گويد خداوند جهان را به زبان رياضي آفريده است. مندبرات در قرن جديد، اين مفهوم را به خوبي به ما نشان داده است.

اشكال فركتالي چنان با زندگي روزمره ما گره خورده كه تعجب آور است. با كمي دقت به اطراف خودتان، مي توانيد بسياري از اين اشكال را بيابيد. از گل فرش زير پاي شما و گل كلم درون مغازه هاي ميوه فروشي گرفته تا شكل كوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شكل ريشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شكل سرخس ها، سياهرگ و شش و...

همه اينها نمونه هايي از اشكال فركتالي اند.

 هندسه فراکتالي او، همه ديدگاه ما نسبت به ابرها، جنگلها، کهکشانها، برگ‌ها، پرها، گلها، صخره‌ها، کوهها، جريان آب، فرش‌ها و آجرها را تغيير مي‌دهد و شما متوجه مي‌شويد که اين پديده‌ها متفاوت هستند. هندسه مندبرات، به ما کمک خواهد کرد که با ديدگاه علمي جديدي به اين پديده‌ها نگاه کنيم و لبه ابرها، مرز درختان جنگل و افق، حرکات پر پرنده وقتي در هوا پواز مي‌کند را با نظم علمي جديدي ببينيم. ما در جهاني زندگي مي‌کنيم که قوانين حاکم بر پديده‌هايش، منشأ وحدت خاصي دارند که موجب مي‌شود اشکال کوچک از خره‌ها گرفته تا اشکال بزرگي مانند کهکشانها را با يک هندسه توضيح دهيم . طبيعت ما کاملا فراکتالي است.

چکیده

مفهوم فراکتال یکی از جذابترین مفاهیم هندسه امروز است.

فراکتال ها شکل هایی دارند که از جزییات مشابهی در اندازه های مختلف بر خوردارند. این بدان معناست که وقتی شما به قطعه کوچکی با شکل فراکتال نگاه میکنید، نسخه های کوچکی از همان شکل بزرگ فراکتال را ملاحظه میکنید  انواع بسیار مختلفی از فراکتال ها وجود دارند و در قلب فراکتالها ریاضیات وجود دارد .
این بدان معنا نیست که انسان باید ریاضیات را برای ایجاد فراکتال ها درک کند . اگر چه هنر فراکتال ها از ریاضیات سر چشمه گرفته ولی در اسارت آن نمی باشد؛ ریاضیات و معادلات ابزار هایی در دستان هنرمندان هستند، ابزاری برای بیان شخصیت و احساس خود. تعدادی از کارهایی که ما انجام می دهیم ممکن است ارزش نا معلومی در مبحث ریاضیات داشته باشد.                                                                                                                                      
خیلی از مردم جذب شکلهای زیبای عجیبی می شوند که به عنوان فراکتال شناخته شده اند. با گسترش ماورای درک معمولی از ریاضی به عنوان مجموعه ای از فرمولها ، هندسه ی فراکتالی هنر را با ریاضی می آمیزد که نشان دهند که معادلات بیشتر از مجموعه ای از اعداد هستند. با هندسه فراکتالی می توانیم بیشتر مدلهایی را که در طبیعت می بینیم به تصویر بکشیم مثل زیبا ترین خطوط ساحلی. فراکتال ها برای نشان دادن فرسایش خاک و آنالیز کردن الگوهای زلزله شناسی استفاده می شوند.

 اما بیشتر از کاربرد های احتمالی برای توصیف الگوهای طبیعی ، به وسیله ی زیبایی تصویری فراکتالها می توانند به دانش آموزان کمک کنند که تفکر دانش آموزان که ریاضیات خشک و غیر قابل دسترسی ست عوض کند ممکن است کشف ریاضی در کلاس را تشویق کند .

تصاویر زیبایی طبیعی فراکتال ها در دانش آموزان انگیزه مطالعه سیستم های ارتباطی ، برنامه های شمارشی، پیشرفت الگو ، ریاضی انتگرالی، ایده بی نهایت و موضوعات دیگردر ریاضی و برنامه های درس علمی را ایجاد می کند .
البته کاربرد های دیگری هم برای فراکتال وجود دارد مثل معرفی شباهت ها ، فشردگی ،بی نهایتی ، تقسیم و کسر فراکتال ها ، توازن و بزرگنمایی و کشف الگو ها.

 کلمات کلیدی:

Fractal) fractus یا fractura)

KochFractal

fractional dimension

فراکتال چیست؟

فراکتال تصویر هندسی چند جزیی است که می‌توان آن را به تکه هایی تقسیم کرد که انگار هر تکه یک کپی از " کل " تصویر است . به سختی بتوان باور کرد که چیزی مانند فراکتال‌ها بتواند اینقدر پیچیده و سخت باشد و در عالی ترین سطوح ریاضی به کار رود و در عین حال بتوان به تصویر یک سرگرمی خوب به  آن نگاه کرد فراکتال ها شکل هایی هستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به  هیچ وجه منظم نیستند . این شکل ها اولاً سرتاسر نامنظم اند                                                                              ، ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است.

با ملاحظه اشکال موجود

د ر طبیعت، مشخص می شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست.

مندل بروت در سال ۱۹۷۵ اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی کند.

جسم فراکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است.

وقتی که به یک جسم فراکتال نزدیک می شویم، می بینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه ها بی شکلی به نظر می رسید، بصورت جسم مشخص در می آید که شکلش کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود. در طبیعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها دیده می شود. درختان ، ابرها، کوهها، رودها، لبه سواحل دریا، و گل کلم ها اجسام فراکتال هستند بخش کوچکی از یک درخت که شاخه آن باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فراکتال عنوان نمود.

بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فراکتال می باشند. تراشه های سلیکان، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپینسکی را می توان در این مورد مثال زد.

در علم ریاضی فراکتال یک شکل مهندسی است که پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است.

میزان بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک میزان است. مثلث سرپینسکی یک مثلث متساوی الاضلاع است که نقاط وسط سرضلع آن به یکدیگر متصل شده اند. اگر این عمل در داخل مثلث های متساوی الاضلاع جدید تا بی نهایت ادامه یابد، همواره مثلث هایی حاصل می شوند که مشابه مثلث اول هستند.

( وحید قبادیان، مبانی و مفاهیم در معماری معاصر غرب )

هندسه ی اقلیدسی احجام کامل کره ها و هرم ها و مکعب ها واستوانه ها- بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند . ابرها و کوه ها و خط ساحلی و تنه ی درختان همه با احجام اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس های کوچک نیز به ارمغان می آورند که یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال ها همین است .

این بدین معناست که هندسه ی فراکتال بر خلاف هندسه ی اقلیدسی روش بهتری را برای توضیح و ایجاد پدیده هایی همانند طبیعت است .زبانی که این هندسه به وسیله ی آن بیان می شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می توانند به فرمولها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند.

فراکتوس به معنی فرکتال از کلمه ی لاتین سنگی نامنظم شکسته و خرد شده است، گرفته شده است .

فراکتال نموداریست از یک کاربرد مختلف.این یک کاربرد فراکتالی ست:
f (n) =f (n)*f (n) +c
یا f (n)

2+c
این معادله به عنوان قانون که کاربرد متعدد دارد مشهور است. این معادله مخصوص ،فراکتالی را که به عنوان جولین معروف است شکل می دهد.در این معادله "c" برابر است با یک شماره پیچیده که می تواند هر ارزشی داشته باشدو نتیجه نیز یک جولین دیگر خواهد بود."n" نیز به عنوان متغیر به کار می رود.
متغیر ها مخصوص هستند چرا که با c یعنی یک شماره پیچیده یا فرضی در ارتباط هستند. در موقعی که متغیر ها (x,y) هستند در فراکتال هندسی، این شماره به صورت x+iy نشان داده می شود.به عبارت دیگرx ثابت و y عدد متغیر و فرضی ست. می دانید که در فراکتال هندسی ، محور x محور واقعی و محور y محور فرضی می باشد. حالا بر می گردیم به کاربرد فراکتال و متغیر های جدید یعنی (x+iy) را به جای nبه کار ببریم. حتما می پرسید چگونه این کاربرد آن نمودار های جالب را می سازند.بسیار خوب به جای اینکه نتیجه کاربرد یک خط باشد فقط یک نقطه می شود. که اگر به تعریف نقطه نگاه کنید می تواند بسیار کوچک باشد و این امر نشان می دهد که چگونه می توانیم یک قسمت از یک فراکتال را بزرگ کنیم و یک فراکتال جدید کلی را به دست آوریم.این نقطه روی n ، یعنی متغیر ها وجود دارد.البته فراکتال ها رنگی هستند.
این رنگها چگونه انتخاب می شوند؟ این نیز مثل همه چیز نسبتاً ساده است. اول نیاز به نقطهای برای رنگ کردن دارید. مثلاً به جای نقطه c نقطه (2+li) را انتخاب می کنیم.به خاطر دارید که c می تواند هر عدد پیچیده ای باشد.حالا آن را وارد معادله می کنیم:
f (n)=f(2 + li)=
(2 + li)(2 + li)+(l + li)=
2*2 + 2i + 2i + i

2 + l + li =
5 + 5i + -l=………. Remember i^2 = -l
4 + 5i
اینها متغیر های جدید ما هستند. به یاد داشته باشید که اگر یکسری متغیرها را وارد یک کاربرد بکنید نتیجه یک سری از متغیرها می شود. 4 + 5i سری جدید متغیر هاست . هنوز کارمان تمام نشده است. کاری که بالا انجام دادیم نشان دهنده یک تکرار است. ما ادامه می دهیم که هر سری از متغیر اه را در این کاربرد قرار دهیم تا اینکه بتوانیم ثابت کنیم که این نقطه باعث تشکیل نمودار می شود.رنگ به این طریق انتخاب می شود. اگر یک نقطه بعد از یک تکرار تشکیل شود یک رنگ می گیرد ، هر نقطه بعدی که بعد ار یک تکرار شکل تشکیل میدهد همان رنگ را میگیرد.همه نقاطی که بعد از دوتکرار شکل می گیرد رنگ جدیدی می گیرند. هر نقطه ای که حذف می شود مجبور هستیم که دوباره همه محاسبات را انجام دهیم.اما وقتی که به محدوده پیچیده مندل برات دقیق می شویم می بینیم که c و z جنگ قدرتمندی را انجام داده اند که ببینند آیا z فرار می کند یا نه. در این جنگ مرتباً موضع عوض می شود و تا لبه هر دو پیش می روند، که فقط به طرف صفر بیفتد. این جنگی ست که در تغییر یک میلیونیم یک جز می تواند باعث تفاوت بین همیشه ماندن و به دام افتادن و یا پرتاب شدن به طرف بی نهایت باشد.
ماندل برات و جولیا فراکتال هستند .معنی آن این است که محدوده بین مکان سیاه که ماندل برات است و محل احاطه کننده آن که ماندل برات نیست یک خط ساده یا یک منحنی (یک بعدی) نیست.اما درون یک دایره یا مربع نیز پر نمی شود (دوبعدی). آن قدر پیچیده و دارای جزییات است که بعد فراکتالی خواهد داشت.
وقتیکه بزرگی یک فراکتال را دو برابر می کنید بلندی منحنی و بنا براین محل پوشیده شده فقط دو برابر نمی شود. تمام قسمت های قابل رویت قبلی از منحنی در درازا دو برابر می شود اما نقطه های برجسته جدید منحنی ها قابل رویت می شوند و به درازا می افزایند.
سری ماندل برات ثابت شده که دارای دو بعد فراکتالی می باشد. یعنی اینکه هر بار که بزرگی را دو برابر می کنید در ازای در ازای محدوده چهار برابر می شود. همچنین سری مندل برات می تواند به پیچیدگی یک غراکتال شود. در ازای محدوده سری مندل برات بی نهایت است. می تواند هر طولی که شما بخواهید داشته باشد، اگر آن را با یک قطعه اندازه گیری که به اندازه کافی کوچک باشد اندازه بگیرید.
واضح است که خط بیرونی دور ماندل برات گره کاملی را دور ماندل برات شکل می دهد . این خط که نشان دهنده دو متغیر در آن واحد است، دور لبه های بیرونی به آرامی می گردد و بعد از عقب به خودش وصل می شود. هیچ نقطه دیگری نیست که شمارش متغیر آن دو باشد به جز روی این خط و همه این نقاط روی این خط به وسیله نقاط دیگری که شمارش آن دو است به هم متصل می شوند. این مورد کمتر واصح است اما برای خطوط دیگر نیز به همین نسبت درست است.اگر روی خطی که ده متغیر را نشان می دهد متمرکز شوید ، می توانید همه راه را روی سری ماندل برات طی کنید و برگردید به جایی که شروع کرده بودید. می توانید این کار را روی خطی که نشان دهنده صد یا هزار متغیر باشد انجام دهید. البته زمان زیادی طول می کشد.

«جبر، حساب و هندسه» سه شاخه مهم از رياضيات است، همين سه عنوان در رياضيات پايه گذار پيشرفت در تمام علوم محسوب مي شوند.

شايد همين حس مسئوليتي كه رياضيات به تمام بخش هاي علوم دارد آن را بسيار جدي و در نظر بسياري، علمي خشك و در عين حال سخت جلوه داده است. در اين ميان هندسه نقش بسيار مهمي را حتي در شاخه هاي رياضي برعهده دارد. هندسه كه مي توان به آن علم بازي با اشكال لقب داد، خود پايه گذار ديگر شاخه هاي رياضي است. زيرا تمام قسمت هاي ديگر در رياضيات و علوم ديگر تا به صورت مشهودي قابل بررسي دقيق و اصولي نباشد جاي پيشرفت چشمگيري براي آنها نمي توان درنظر گرفت. با اين اوصاف، شايسته است به هندسه لقب «مادر بزرگ علوم» دهيم.شايد اگر زماني كه حوزه اطلاعاتمان از اعداد تنها به مجموعه اعداد طبيعي منتهي مي شدو معلم درس رياضيات از ما مي خواست تا ضلع سوم مثلث قائم الزاويه اي را كه طول هر ضلعش يك سانتي متر است اندازه بگيريم نمي توانستيم عددي را با چنين ويژگي بيابيم .سال ها پيش اقليدس با حل مسئله اي نظير اين (محاسبه قطر مربعي كه هر ضلعش 1 واحد بود)، سلسله اعداد جديدي را به مجموعه هاي شناخته شده اضافه كرد كه يكي از شاهكارهاي بي نظير در پيشرفت رياضيات و البته علوم بود. بله اين عدد عجيب و غريب «راديكال 2» بود.

عموم تحصيلكردگان با هندسه اقليدسي آشنا هستند. زيرا دست كم در طول دوران تحصيل خود به اجبار هم كه بوده در كتاب هاي درسي با اين هندسه كه اصول آن بر مبناي اندازه گيري است آشنا شده اند. اما هندسه اقليدسي تنها به بررسي اشكال كلاسيك موجود در طبيعت مي پردازد. در اين هندسه اشكال و توابع ناهموار، آشفته و غير كلاسيك به بهانه اينكه مهار ناپذيرند، جايي نداشتند.

بالاخره در سال 1994، طلسم يكي از تئوري هاي رياضي كه از سال1897، عنوان شده بود، شكست و «مندلبرات(1)» رياضيدان لهستاني، پايه گذار هندسه جديدي  شد كه به آن هندسه بدون اندازه يا هندسه فركتالي گويند. هندسه بدون اندازه يكي از شاخه هاي جديد رياضيات است كه در برابر تفسير و شبيه سازي اشكال مختلف طبيعت از خود انعطاف و قابليت بي نظير نشان داده است. با به كارگيري هندسه فركتالي، افق روشني پيش روي رياضيدانان و محققان در زمينه بازگو كردن رفتار توابع و مجموعه هاي به ظاهر ناهموار و پر آشوب قرار گرفت.

واژه فركتال به معناي سنگي است كه به شكل نامنظم شكسته شده باشد. در اين هندسه اشكالي مورد بررسي قرار مي گيرند كه بسيار نامنظم به نظر مي رسند. اما اگر با دقت به شكل نگاه كنيم متوجه مي شويم كه تكه هاي كوچك آن كم و بيش شبيه به كل شكل هستند به عبارتي جزء در اين اشكال، نماينده اي از كل است. به چنين اشكالي نام «خود متشابه» نيز مي دهند.

اشكال فركتالي چنان با زندگي روزمره ما گره خورده كه تعجب آور است. با كمي دقت به اطراف خودتان، مي توانيد بسياري از اين اشكال را بيابيد. از گل فرش زير پاي شما و گل كلم درون مغازه هاي ميوه فروشي گرفته تا شكل كوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شكل ريشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شكل سرخس ها، سياهرگ و شش و...

همه اينها نمونه هايي از اشكال فركتالي اند.

 اين  موجودات به عنوان اصلي ترين بازيگران هندسه منتج از نظريه آشوب شناخته مي شوند.

اين هندسه ويژگي هاي منحصر به فردي دارد، که مي تواند توجيه گر بسياري از رويدادهاي جهان اطراف ما باشد، اما ويژگي اصلي که در تعريف آشوب و بالطبع هندسه آن وجود دارد، باعث مي شود ما استفاده ويژه اي از اين سيستم ببريم.

اين روزها از فراکتالها به عنوان يکي از ابزارهاي مهم در گرافيک رايانه اي نام مي برند، اما هنگام پيدايش اين مفهوم جديد بيشترين نقش را در فشرده سازي فايلهاي تصويري بازي کردند.

اگر هنوز از اين موجودات ساده و در عين حال پيچيده هيجان زده نشده ايد، اين نکته را هم بشنويد.اين اجسام نه يک بعدي اند، نه دو بعدي و نه سه بعدي.

. مطمئن باشيد هندسه فراکتال بر بسياري از اشکال عالم حاکم است ؛ حتي اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد.

شما نيز با دقت بيشتر به اطرافتان و يافتن ارتباط هاي ملموس بين رياضي و زندگي مي توانيد از سختي و به اصطلاح خشك بودن رياضي بكاهيد

تاریخچه :

برخال اولین بار توسط بنوا مندلبرو در سال ۱۹۷۵ ارئه داده شد.در بسیاری از وبلاگها مشاهده شده که تاریخ دقیقی از این موضوع ارائه نداده اند. ولی ما در اینجا با صراحت کامل ذکر می کنیم که بنوا مندل برو تحقیقات خودش رو از سال ۱۹۶۰ شروع کرده ولی اولین بار کلمه برخال fractal رو در مقاله سال ۱۹۷۵ ( Stochastic Models for Earth`relief, the shape and the fractal dimension of coastlines, and the number-area rule for islands ) ذکر کرده اما مشتقات این کلمه مثل fractional dimensionبعد کسری در مقاله سال ۱۹۶۷با عنوان ( How long is the coast of britain? Statistical self-similarity and fractional dimension.) ذکر شده است. بعد ها او در مقالات بعدیش به توسعه این هندسه پرداخته است. او مطالعات پراکنده دانشمندان دیگر را در قالب هندسه منسجمی ارائه داد.

درسال ۱۹۶۰ هواشناس آمریکایی ادوارد لورنز برای شبیه سازی سیستمهای جوی از معادلات غیر خطی استفاده می کرد. او به این نکته پی برد که تغییرات کوچک ( حتی ۱هزارم) در شرایط اولیه باعث تغییرات زیادی در نتیجه  می شود. بعد ها  این پدیده را اثر پروانه نامیدند.

 یعنی تنها با گرد کردن اعداد بعد از چهارمین رقم اعشار یک چنین اختلاف بزرگی در نتیجه حاصل شده است این بدین معنی است که اگر پروانه ای در چین بالهاشو بر هم بزنه نتایج حاصل از برخورد بال این پروانه با هوا باعث می شه که در  آریزونا توفانی ایجاد بشه. این یک تمثیل است. لورنز برای مدلسازی عمل رفتار آشوبناک سیستم گازی در اتمسفر سه معادله از عرصه فیزیک دینامیک سیالات به عاریه گرفت سپس با کمی خلاصه سازی به صورت زیر ارائه داد:

(dx/dt =Δ*(y-x

dy/dt=r*x-y-z*z

dz/dt=x*y-b*z

dx/dt=delta*(y-x)

dy/dt=r*x-y-x*z

dz/dt=x*y-b*z

dx/dt=delta*(y-x)

dy/dt=r*x-y-x*z

dz/dt=x*y-b*z

ایده خود متشابه در اصل توسط لایبنیتس بسط داده شد. او حتی بسیاری از جزئیات را حل کرد. در سال ۱۸۷۲ کارل وایرشتراس مثالی از تابعی را پیدا کرد با ویژگیهای غیر بصری که در همه جا پیوسته بود ولی در هر جا مشتق پذیر نبود. گراف ‌این تابع اکنون برخال نامیده می‌شود. در سال ۱۹۰۴ هلگه فون کخ به همراه خلاصه‌ای از تعریف تحلیلی وایرشتراس ، تعریف هندسی‌تری از تابع متشابه ارائه داد که حالا به برفدانه کخ معروف است. در سال ۱۹۱۵ واکلو سرپینسکی مثلثش را و سال بعد فرش‌اش (برخالی) را ساخت. ‌ایده منحنیهای خود متشابه توسط پاول پیر لوی مطرح شد او در مقاله اش در سال ۱۹۳۸ با عنوان «سطح یا منحنیهای فضایی و سطوحی شامل بخش‌های متشابه نسبت به کل» منحنی برخالی جدیدی را توصیف کرد منحنی لوی c. گئورگ کانتور مثالی از زیرمجموعه‌های خط حقیقی با ویژگیهای معمول ارائه داد‌. این مجموعه‌های کانتور اکنون به‌عنوان برخال شناخته می‌شوند. اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم توابع تکرار شونده در سطح پیچیده توسط هانری پوانکاره، فلیکس کلاین، پیر فاتو و گاستون جولیا شناخته شده بودند. با‌این وجود بدون کمک گرافیک کامپیوتری آنها نسبت به نمایش زیبایی بسیاری از اشیایی که کشف کرده بودند، فاقد معنی بودند. در سال ۱۹۶۰ بنوا مندلبرو تحقیقاتی را در شناخت خود-متشابه‌ای طی مقاله‌ای با عنوان «طول ساحل بریتانیا چقدر است؟ خود متشابه‌ای آماری و بعد کسری» آغاز کرد. ‌این کارها بر اساس کارهای پیشین ریچاردسون استوار بود. در سال ۱۹۷۵ مندلبرو جهت مشخص کردن شئی که بعد ((هاوسدورف بیسکویچ)) آن بزرگ‌تر از بعد توپولوژیک است کلمه برخال را‌ ایجاد کرد. او‌این تعریف ریاضی را از طریق شبیه سازی خاص کامپیوتری تشریح کرد.

 مجموعه  جولیا

بر خالها از نظر روش مطالعه به برخالهای ‍‌جبری و بر خالهای احتمالاتی تقسیم می‌شوند. از طرف دیگر برخالها یا خود متشابه اند (self similarity) یا خود الحاق (self affinity) هستند. در مورد خود متشابه‌ای شکل جز شباهت محسوسی به شکل کل دارد این جز، در همه جهات به نسبت ثابتی رشد می‌کند و کل را به وجود می‌آورد. اما در خود الحاقی شکل جز در همه جهات به نسبت ثابتی رشد نمی‌کند. مثلاً در مورد رودخانه‌ها وحوضه‌های آبریز بعد برخالی طولی متفاوت از بعد برخالی عرضی است Vx = ۰. ۷۲-۰. ۷۴ و Vy = ۰. ۵۱-۰. ۵۲ (ساپوژنیکوف و فوفولا ،۱۹۹۳) لذا شکل حوضه آبریز کشیده‌تر از زیر حوضه‌های درون حوضه است. به خود متشابه‌ای همسانگرد ( isotropy) می‌گویند. به خود الحاقی ناهمسانگرد( anisotropy) می‌گویند.

گسترش رو به رشد رویکرد مونوفراکتالی (تک برخالی) اخیر، داده‌ها را با مجموعه فراکتالی، بجای بعد منفرد فراکتالی توصیف می‌کند. ‌این مجموعه طیف چند برخالی (multifractal spectrum) نامیده می‌شود و روش توصیف تغییر پذیری بر اساس طیف سنجی چند برخالی به آنالیز چند برخالی (multifractal analysis) معروف است (فریش و پاریسی، ۱۹۸۵). روش چند برخالی به اندازه خود متشابه‌ای آماری (statistical self-similar) دلالت دارد که می‌تواند به صورت ترکیبی از مجموعههای متقاطع برخالی (interwoven fractal sets) مطابق با نمای مقیاس گذاری نمایش داده شود. ترکیبی از همه مجموعه‌های برخالی طیف چند برخالیی را‌ایجاد می‌کند که تغییر پذیری و ناهمگنی متغیر مورد مطالعه را مشخص می‌کند. مزیت رویکرد چند برخالی‌این است که پارامترهای چند برخالی می‌توانند مستقل از اندازه موضوع مورد مطالعه باشند. (Cox and Wang, ۱۹۹۳)

فراکتال ها انواع عناصری هستند که فرم فضایی آنها صاف نیست .بنابراین “نامرتب ” نامیده شده اند و این نامنظمی آنها به طور هندسی در راستای مقیاسهای گوناگون در داخل هرم تکرار می شوند .هر چیز طبیعی در اطراف ما در اصل نوعی فراکتال است . به این سبب که خطوط صاف و پلانها فقط در دنیای ایده آل ریاضی وجود دارد .در کنار این تئوری هر سیستم که بتواند به صورت هندسی متصور و تحلیل شود می تواند یک فرکتال باشد .جهان در فرم فیزیکی ( مادی ) کلی خود پر هرج و مرج ،ناممتد و نامنظم است اما در پس این اولین ذهنیت و گمان یک نوع دستوری نهفته است که منظم و دارای ترکیبی واضح است . بهترین راه برای تعریف یک فرکتال توجه به صفتها و نشانه های آن است یک فرکتال ” نامنظم ” است . این بدان معنی است که در آن هیچ قسمتی صاف نیست . فرکتال ” خود مشابه ” است و این بدین معنی است که ” اجزا ” شبیه کل هستند .

فراکتال ها به وسیله ی ” تکرار ” توسعه می یابند که به این معنی است که تغییرشکل مکرراً ایجاد شده و وابسته به موقعیت شروع است . خصوصیت دیگر آن این است که فراکتال ” مرکب ” است . اما با این حال می توان آن را به وسیله ی الگوریتم های ساده نشان داد و همچنین بدون معنی نیز نیست که در پس عناصر

نامرتب طبیعی یک رشته قوانین موجود است .

 

frac4.jpg

 

 

 

 

 

 

موزه گوگنهایم در بیلبائو

 

خواص فراکتال :

فرکتال از دید هندسی به شیئی گویند که دارای سه ویژگی زیر باشد:

۱-اول اینکه دارای خاصیت خود متشابهی باشد یا به تعبیر دیگر self-similar باشد.

۲-در مقیاس خرد بسیار پیچیده باشد.

۳-بعد آن یک عدد صحیح نباشد (مثلاً‌ ۱٫۵).

برای درک بهتر نسبت به مشخصات بالا در فرم هندسی ، بد نیست نمونه ای که شاید تا کنون با آن برخورد کرده باشید مطرح شود :

frac2.jpg

تصویر بالا ( یک کبوتر ) یک فرم هندسی است که دقیقاً با تعاریفی که در تعریف فرکتال بیان شد، منطبق است یعنی هم دارای خاصیت خود متشابهی و پیچیدگی در مقیاس خرد و نیز عدم داشتن بعد صحیح . تصویر بالا دارای بعدی بین عدد ۲ و ۳ است.

حال به بررسی هر یک در زیر پرداخته شده :

خاصیت خود متشابهی فرکتا لها

شیئی را دارای خاصیت خود متشابهی می گوییم: هر گاه قسمت هایی از آن با یک مقیاس معلوم ، یک نمونه از کل شیئی باشد.

ساده ترین مثال برای یک شیئ خود متشابه در طبیعت گل کلم است که هر قطعه‌ی کوچک گل کلم متشابه قطعه بزرگی از آن است.

همین طور درخت کاج یک شیئ خود متشابه است ،چرا که هر یک از شاخه های آن خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی در مقیاس بسیار کوچکتر .همچنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد.

رشته کوه ها ، پشته های ابر ، مسیر رودخانه ها و خطوط ساحلی نیز همگی مثال‌ها‌یی از یک ساختمان خود متشابه هستند. گربه‌ها، قناری‌ها و کانگوروها به هم شبیه هستند اگر به نحوی بتوانیم شباهتی بین آنها پیدا کنیم. اما در هندسه تشابه معنای خاصی دارد. تشابه، یکسانی اشکال در عین متفاوت بودن اندازه هاست. به زبان ساده تر اگر بتوانید با بزرگ یا کوچک کردن دو تصویر آنها را درست مثل هم کنید، آن دو متشابه‌اند. اما تصویر‌های خود متشابه کدام‌ها هستند؟ اشکال زیادی وجود دارند که فراکتالی نیستند اما خود متشابه‌اند.

تشکیل از راه تکرار Iterative formation:

مقصود از تشکیل از راه تکرار چیست؟ یعنی برای درست کردن یک فراکتال می‌توانیم یک تصویر معمولی هندسی (مثلاً یک خط) را برداریم و با آن یک تصویر پیچیده تر بسازیم. بعد با آن تصویر به دست آمده تصویر پیچیده تری بسازیم، و همین طور به این کار ادامه دهیم اشکال فراکتالی به این طریق به وجود می‌آیند و برنامه‌های کامپیوتری متعددی بر ایجاد آن‌ها نوشته شده‌است.هر کدام از آنها هم اسم و رسمی برای خود دارند مثلاً مثلث سرپینسکی

فراکتال شکل هندسی پیچیده است که دارای جزییات مشابه در ساختار خود در مقیاسهای متفاوت می باشد و بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک اندازه است . جسم فراکتال از دوز و نزدیک یکسان دیده می شود .مثلا وقتی به یک کوه نگاه می کنیم شکلی شبیه به یک مخروط می بینیم که روی آن مخروطهای کوچکتر و بی نظمی دیده می شود ولی وقتی نزدیک می شویم همین مخروطهای کوچک شبیه کوه هستند و یا شاخه های یک درخت شبیه خود درخت هستند .البته در طبیعت نمونه های اجسام فراکتال فراوان است مثلا ابرها -رودها -سرخس ها و حتی گل کلم از اجسام فراکتال است .و اگر به ساخته های دست بشر هم نگاه کنیم تراشه های سیلیکان و یا مثلث سرپینسکی نیز فراکتال هستند . و در معماری همیشه نباید نیاز بشر را هندسه اقلیدسی تامین کند .گسترش شهرها نمونه آشکاری از فراکتال است.

خصوصیات اشکال فرکتال:

- اشکال اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا تولید می شوند ولی اشکال فرکتال با فرآیندهای پویا تولید می شوند.( فرآیندهای پویا, فرآیندهایی هستند که دارای حافظه می باشند و رفتار آنها به گذشته بستگی دارد.)

- اشکال فرکتال دارای خاصیت خود همانندی است. طول این اشیا بی نهایت است که در فضای محدود, محصور شده اند.

- مجموعه های فرکتال, از زیر مجموعه هایی تشکیل شده اند که این زیر مجموعه ها شبیه مجموعه های بزرگتر هستند.

- هندسه فرکتال دارای ساختارهای ظرفیتی بالاست ولی ظرفیت اطلاعاتی اشیای اقلیدسی بسیار محدود و حاوی اطلاعات تکراری است.

- هندسه فرکتال, بیان ریاضی از معماری طبیعت است.

- هر فرآیند تکراری و پویا باعث ایجاد ساختارهای پیچیده فرکتال نمی شود. مکانیزم تولید چنین ساختارهای پویایی, آشوب است. در حقیقت, فرکتال تصویر ریاضی از آشوب اس.

در مقیاس خرد بسیار پیچیده باشد:

توابع فراکتالی توابعی هستند که در همه جا پیوسته بوده ولی در هیچ جا مشتق پذیر نیستند.                                     

عدم بعد صحیح:

ابعاد کسری همانطور که می‌دانید، یک نقط بعد ندارد. یک خط، تصویری یک بعدی است. یک صفحه، دو بعد دارد و در آخر تصویر‌های حجیم، سه بعد دارند.اما فرکتال‌ها می‌توانند بعد کسری داشته باشند ! مثلاً ۶/۱ یا ۲/۲. اگر یک پاره خط را نصف کنیم چه پیش می‌آید؟ حالا دو خط داریم که درست مثل هم هستند.اگر هر دو بعد یک مربع را نصف کنیم چطور؟ حالا چهار مربع هم اندازه داریم. با نصف کردن هر سه بعد یک مکعب به هشت مکعب کوچکتر می‌رسیم. چه الگویی وجود دارد ؟ به نظر می‌رسد که بعد، همان «توان» است. یعنی برای پیدا کردن تعداد اشکال حاصله باید ۲ را به توان بعد آن تصویر برسانیم. اگر هر ضلع را نصف کنیم چند مثلث درست می‌شود؟

فراكتال هاي هندسي:

خم وان كخ :

يكي از مشهورترين فراكتال‌ها توسط ریاضیدانی به نام  «‌فون‌كخ» در سال 1904 ابداع شد. در اين  فراكتال که به «دانه برفی کخ» شهرت دارد، ابتدا يك مثلث متساوی‌الاضلاع  را در نظر مي‌گيريم و هر ضلع آن را به سه قسمت تقسيم مي‌كنيم؛ سپس به جاي پاره خط وسط هر ضلع، یک مثلث متساوی‌الاضلاع دیگر جايگزین می‌کنیم و این عمل را بارها تکرار می‌کنیم. به این نوع فراکتال‌ها، فراكتال «خود متشابه» گفته می شود، چرا که هر قسمت آن با تکه بزرگ‌تر شبيه است.

روش ساخت فراكتال« دانه برفي كخ» كه كوچك ترين جزء آن مثلث متساوي‌الاضلاع است

 

          ثاثاظ

         

 

 

 

كانتور:

      ساده ترين نوع فراكتال ، فراكتال كانتور است پاره خطي به طول يك را در نظر بگيريد و طول آنرا به سه قسمت تقسيم كنيد و سمت وسط را حذف كنيد حال دو خط داريم كه طول آنها يك سوم طول اوليه است.

 

مثلث سر پينسكي :

فراکتال سرپينسکي يک فراکتال هندسي است. اگر مثلث وسطي يک مثلث متساوي‌الاضلاع را حذف کنيم و

در همه مثلث‌هاي باقي‌مانده هم اين عمل را تا بي‌نهايت انجام دهيم، مجموعه زيبايي از مثلث‌هاي پر و خالي به وجود مي‌آيد که فراکتال سرپينسکي به دست خواهد آمد.

فرایند تشکیل مثلث سرپینسکی

 

 

انواع فراكتا ل ها :

هندسه فراکتال،توصیفگر جهان طبیعت

هندسه فرکتالی وسیله و مفهومی نوین است که امکان توصیف ریختهای طبیعی را میسر کرده است. اشکال هندسی طبیعی همچون کرات آسمان و درخت کاج را به آسانی می‌توان با کره و مخروط توصیف کرد ولی بسیاری دیگر از اشکال طبیعی به اندازه‌ای پیچیده هستند که حتی با ترکیبی از اشکال هندسه اقلیدسی قابل توصیف دقیق نیستند. شکل گل‌کلم، ریخت کوهها، رویه یک فلز در مقیاس‌های میکروسکوپی نمونه‌هایی از شکل‌های طبیعی هستند که توصیف آنها تنها توسط هندسهٔ فرکتالی ممکن است
کشف مفاهیم فرکتالی ابزاری نیرومند در اختیار دانشمندان برای همسنجی پدیده‌های پیچیده طبیعی قرار داد. برای نمونه با کاربرد مفاهیم برخالی می‌توان شکل رودخانه‌های رشته کوه‌های البرز را با شکل رودخانه‌های کوه‌های زاگرس مقایسه کرد و یا می‌توان تغییرات فعالیت‌های لکه‌های خورشیدی در زمان را توصیف و با تغییرات دمای جو زمین هم سنجید. مسلماً مقایسه طول رودخانه‌ها با درازای رودخانه‌ها توصیف دقیقی نخواهد بود زیرا تنها یک جنبه از هندسه پیچیده رودخانه‌های نامبرده را مورد مقایسه قرار می‌دهد. مقایسه همخوانی بسامدهای سازنده تغییرات تعداد لکه‌های خورشیدی در زمان با تغییرات دمای جو در زمان می‌تواند همبستگی این دو پدیده نامبرده را تا اندازه‌ای معین کند ولی نمی‌تواند معیاری یکتا که ارتباط میان‌ سازنده این دو پدیده را معیین می‌کند ارائه دهد.
هندسه فراکتالی چیست؟

بنیاد هندسه برخالی بر این فرض استوار است که اشکال طبیعی خود همانند (Self similar) هستند و از تکرار قانونمند یک بلوک آغازین ایجاد گردیده‌اند. برخالها را به دو دسته ریاضی و طبیعی تقسیم می‌کنند. نمونه برجسته فرکتالی ریاضی (KochFractal) است و تا با عناصراصلي فراكتال و چگونگي ايجاد اين فرم آشنا نشويم نمي توانيم فرم هاي مختلف و حجم هاي مختلف را شناسايي كنيم . باید گفت این نوع خاص از هندسه به دو مفهوم مهم ریاضی محتاج است:

. نمودار

·  مفهوم تابع

فرم فراكتال :

زماني كه به اطراف خود نگاه مي كنيم مي توان از كوچكترين عناصر طبيعي تا بزرگترين اشياي خلقت ، مثالي را كه داراي فرمي فراكتال هستند را مطرح كرد به طوري كه مشخصه هاي هندسي فراكتال را دارا مي باشند.

 

سيستم ساختار هاي تكرار :                           

اين سيستم كه داراي علامت اختصاري IFS - Iterated Function System - است ، سيستم تكرار را مطرح مي كند كه به نوعي پايۀ هندسه فراكتال است .

        تكرار يكي از راه هاي ايجاد فرم در معماري است اما در فراكتال اين فرم بايستي داراي مشخصات هندسي كه در قسمت هندسه فراكتال مطرح شد را دارا باشد .

       به طور كلي اين تكرار مي تواند از كنار هم قرار گرفتن يك شيء بدست آید و يا اينكه يك موضوع نسبت به موضوع ديگر و به طور متوالي كوچك شود

خود متشابهي

اگر بخواهيم در يك جمله خود متشابهي را تعريف كنيم اينگونه بيان مي كنيم ، شييء كه يك كپي كوچكتراز خودش را مي سازد به طوري كه اين شيء داراي تشابه با شكل اصلي است ، اما از لحاظ سايز متفاوت مي باشد .

 

فراكتال هاي طبيعي :

اين فرم ها كه به صورت طبيعي وجود دارند داراي ساختاري خود متشابه هستند حتي در مقياس ميكروسكپي يك دانه برف داراي فرمي خود متشابه است

فراكتال در مناظر طبيعي :

اين فرم ها همانطور كه از اسم آنها پيداست داراي فرمي طبيعي هستند ( عدم دستبرد دست بشر ) . شايد براي عكس از يك سوژه  به يك منظره برخورد كرده باشيد كه در دوردست تپه ها و كوه ها ديده مي شوند ، بد نيست بدانيد كه خود اين منظره داراي فرمي فراكتال است و با هندسه فراكتال قابل حل !!

دستان فراکتالى یک نقاش

»جکسون پولاک» را با تابلو هاى نقاشى عجیبش مى شناسند؛ تابلوهایى که در نگاه اول چیزى جز مخلوطى از رنگ هاى پاشیده شده به بوم نشان نمى دهند. اغلب منتقدان هم عصرش او را چیزى فراتر از یک نقاش عجیب که قلم مو را با حرکت هایى تصادفى روى بوم مى کشد، نمى دانستند؛ اما «پولاک» در برابر آنها مقاومت مى کرد و مى گفت: «من مى توانم جریان رنگ را روى بوم مهار کنم. آنها طرح هاى تصادفى نیستند
چند ده سالى باید مى گذشت تا درستى گفته هاى او اثبات شود. در اواخر دهه ،۱۹۹۰ «ریچارد تیلور» فیزیکدان دانشگاه اورگون به بررسى گلچینى از آثار «جکسون پولاک» پرداخت و فهمید که آنها از الگوهاى فراکتالى مشخصى تشکیل شده اند که تنها با پاشیدن یا ریختن رنگ بر روى بوم به وجود آمده اند. به نظر مى رسید جک رنگ پاش سال ها پیش از آنکه ریاضیات لازم براى بررسى کارهایش ابداع شود، الگوهاى فراکتالى را در نقاشى هایش به کار مى برد.
در اواخر دهه ،۱۹۹۰ «تیلور» که دانش آموخته دکتراى رشته هاى فیزیک و نظریه هنر است، به بررسى این موضوع پرداخت که آیا مى توان سبک رنگ پاشى «پولاک» را براساس هندسه فراکتالى توضیح داد. الگوهاى فراکتالى، الگوهایى هستند که در بزرگ نمایى هاى مختلف خود را تکرار مى کنند و معمولاً با سیستم هاى آشوبناک مرتبط مى شوند. در دهه ،۱۹۷۰ ریاضیدانان با استفاده از نظریه آشوب توانستند الگوهاى فراکتالى طبیعت را شناسایى کنند. سواحل دریاها، درختان و شعله ها، همه الگوهاى فراکتالى دارند.
«
تیلور» به دو دلیل حدس مى زد آثار «پولاک» با هندسه فراکتالى مرتبط باشند. «پولاک» بوم را روى زمین پهن مى کرد و در حین نقاشى دور آن حرکت مى کرد؛ بدین ترتیب او با تمام بدنش رنگ ها را در تمام زاویه ها پخش مى کرد. پیش از این ریاضیدانان نشان داده بودند هنگامى که انسان در شرایط نامتعادل قرار مى گیرد، حرکت اندام هایش خواص فراکتالى از خود نشان مى دهد. فیلم هایى که از نقاشى کردن «پولاک» گرفته شده بود، نشان مى داد او در حالت هاى کنترل شده اى از عدم تعادل کار مى کرد. از سوى دیگر، همین پاشیدن و ریختن رنگ روى بوم مى توانست نوعى فرآیند آشوبناک محسوب شود.
منبع:
(روزنامه شرق)
حجم فركتال ( فركتال در معماري ) :

نتيجه فرم هاي مختلف مي تواند به يك اثر معماري منتج شود.

مطالعه هندسه باید به طراح کمک کند به درک بهتری از جریان جزئیات در پیرامون ما و جهان طبیعی دست یابد.

خصوصیت فراکتالی یک ترکیب معماری در تسلسل جالب جزئیات است. این تسلسل برای حفظ جذابیت معماری لازم است. هنگامی که شخص به یک ساختمان نزدیک و سپس به آن وارد می شود همیشه باید مقیاس کوچکتر دیگری همراه با جزئیات جذاب وجود داشته باشد تا معنای کلی ترکیب را بیان کند که این  یک ایده فراکتال است.

انسانها در روزگار قدیم که در طبیعت می زیستند و مانند انسان دوره مدرن, با طبیعت بیگانه نبودند, معماریشان با نظم طبیعت بود. آنها به این دلیل که در طبیعت رشد میافتند, ضمیر ناخودآگاهشان نیز با نظم طبیعت- یعنی با نظم فراکتال- رشد میافت, در نتیجه مصنوعاتش نیز دارای نطم فراکتال می بود.

فراکتال در معماری معاصر

به دنبال بیگانگی انسان معاصر با طبیعت و دور شدن ساخته هایش از تشابه با ساختارهای طبیعت, معماران معاصر به دنبال نمود دادن ساختار فراکتال طبیعت در آثارشان هستند. هر چند که این هنوز آغاز راه است ولی ارتباطی جدیدی در زمینه طبیعت و معماری معاصر را نشان میدهد. ارتباطی که انسان مدرن آن را فراموش کرده بود.

 

 

الگو هاي رويش فراكتالي:

          پديده هاي رويش درختوار در پيمانه هاي (مقياس هاي) كوچك تا بزرگ در طبيعت ديده مي شوند رويش بلور ها در سنگهاي آذرين رسوبگذاري الكتروشيميايي شبكه ي آبراهه ها و رود خانه ها رويش توده باكتري ها نمونه اي از پديده هاي رشد در طبيعت هستند .

 

آشــوب(chaos):

فهرست مندرجات

۱ آشوب چیست ؟

۲ تغییرات آب و هوایی

۳ مدل فرکتالی مندلبرت

۴ ویژگی‌های تئوری آشوب بی‌نظمی

۴.۱ اثر پروانه‌ای

۴.۲ سازگاری پویا

۴.۳ جاذبه‌های غریب

۴.۴ خود مانایی

۵ بررسی کوتاه نظریه بی‌نظمی در اقتصاد

۶ بررسی نظریه بی‌نظمی در پرستاری و موسیقی

7 آشوب در معده و سیگنالهای معنی دار

۸ مثلث خیام

۹نتیجه‌گیری و جمع‌بندی آشوب

 

تئوری آشوب یا بی‌نظمی، تئوری می‌باشد که فکر و ذهن بشر را به خود واداشته‌است. این تئوری در همه جنبه‌های علمی وارد شده و باعث بحث دانشمندان گردیده‌است. این تئوری که در حیطه علوم مباحث تجربی، ریاضی، رفتاری، مدیریتی، و اجتماعی وارد شده‌است باعث تغییر در نوع دیدگاه بشر به حل مسائل غیر قابل پیش‌بینی شده‌است.انگاره اصلی و کلیدی تئوری آشوب این است که در هر بی‌نظمی، نظمی نهفته‌است به این معنا که نباید نظم را تنها در یک مقیاس جستجو کرد. پدیده‌ای که در مقیاس محلی، کاملاً تصادفی و غیر قابل پیش‌بینی به نظر می‌رسد چه بسا در مقیاس بزرگتر، کاملاً پایا و قابل پیش‌بینی باشد.

دانشمندان معتقد بودند معلول‌ها به صورت خطی بر آیند علل بدنه اصلی مقالات خاصی هستند اکنون آن‌ها به نقش خلاقانه بی‌نظمی و آشوب تاکید کرده و جهان را مجموعه‌ای از سیستم‌هایی می‌دانند که به شیوه‌های خود سازمانده عمل می‌کنند و تصادفی هستند این در شرایطی است این سیستم‌ها از نظم به بی‌نظمی و از بی‌نظمی به نظم ختم می‌شوند. این تئوری پارادوکس گونه نظریه بی‌نظمی است که به آن خواهیم پرداخت. چگونگی شکل گیری نظریه بی‌نظمی:

تغییرات آب و هوایی:

چندی از دانشمندان آب و هواشناسی در حال بررسی شرایط آب و هوایی در یک منطقه خاص که در آن جا آب‌ و هوایی نسبتاً منظم و بی‌تغییر بود پرداختند. آن‌ها به مدت ۲ سال مشغول بررسی آب و هوای این منطقه بودند در سال اول پدیده‌ای مشاهده نگردید. اما در پاییز سال دوم ناگهان شرایط آب و هوایی که دستگاه اندازه‌گیری نشان می داد به هم ریخت اما آثار این به هم ریختگی در آب و هوا مشاهده نگردید دانشمندان به گونه بر آن شدند که این بی‌نظمی ایجاد شده در آب و هوا و دستگاه اندازه‌گیری را توجیه کنند اما این امر میسر نشد. دانشمندان ۱ سال دیگر به این شرایط ادامه داده تا به موفقیت دست یافتند و آن این بود که در آن سال به علت هجوم پرندگان به دریاچه‌ای در آن نزدیکی و پر زدن آن‌ها در فراز این دریاچه فشاری به جو آمده که این فشار باعث آن گردیده‌است که

دستگاه‌های اندازه‌گیری برخلاف آن چه دیده شده ثبت کنند. دانشمندان بر آن شدند که با استفاده از دستگاه‌هایی نبود پرندگان در فراز این دریاچه را شبیه‌سازی کرده و نتایج را بررسی کنند. آن‌ها پس از بررسی به این نتیجه رسیدند که اگر این پرندگان از آن سال به بعد به آن جا در بالای دریاچه هجوم نمی‌آوردند طوفانی بزرگ در آن منطقه شکل می‌گرفت و باعث تخریب ۱۲ هکتار از این منطقه می‌گردید. در حقیقت پر زدن آن پرندگان باعث می‌شد که شرایط شکل‌گیری این طوفان پیش نیاید و در واقع مهم‌ترین اصل نظریه آشوب ایجاد گردید و آن عبارت بود از: پروانه‌ای در آفریقا بال می‌زند و باعث ایجاد گردبادی در آمریکای جنوبی می‌گردد. این اصل بیان می‌کند که کوچک‌ترین تغییر در این جهان باعث بی‌نظمی‌های بزرگی خواهد گردید. در سال ۱۹۶۵ لورنتس مشغول پژوهش روی مدل ریاضی بسیار ساده‌ای که از آب و هوای زمین بود، به یک معادله دیفرانسیل غیر قابل حل رسید وی برای حل این معادله به روش‌های عددی با رایانه متوسل گردید. او برای اینکه بتواند این کار را در روزهای متوالی انجام دهد. نتیجه خروجی هر شب را به عنوان ورودی روز بعد در نظر می‌گرفت. لورنتس در نهایت مشاهده کرد که نتیجه بررسی شده توسط رایانه او خروجی تا ۴ رقم اعشار دارد که این محال بود چون رایانه او اعداد را تا ۶ رقم اعشار نشان می‌داد. پس به بی‌نظمی ایجاد شده در رایانه و آب و هوا دست یافت. این واقعیت غیر ممکن بودن پیش‌بینی آب و هوا در درازمدت را نشان می‌داد.

تولید مثل

دانشمندان این زمینه از علوم در بررسی برای انقضای قورباغه‌ها بودند آن‌ها تعدادی قورباغه را در فضای سربسته نگه داشت و منتظر نابودی آن‌ها بودند که ناگاه مشاهده کردند که این قورباغه‌ها که همگی نر بودند تولید مثل کرده و تعداد آن‌ها بیشتر شده‌است با تحقیقات انجام شده بر روی آن‌ها به این نتیجه رسیدند که قورباغه‌ها در ۶ ماه اول هویت خود را داشته و در ۶ ماه بعدی جنسیت خود را عوض کرده‌اند تا نسل آن‌ها همچنان باقی بماند. این آزمایشات منجر به ایجاد دومین اصل نظریه بی‌نظمی گردید: زندگی برای بقا راه خود را خواهد یافت.

مدل فرکتالی مندلبرت:

وقتی که بر روی تحقیی پیرامون طول سواحل انگلیس مطالعه می‌کرد به این نتیجه رسید که هرگاه در مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود بیشتر از زمانی است که در مقیاس کوچکتر باشد. این بی‌نظمی ایجاد شده باعث ایجاد شاخه ریاضی نظریه بی‌نظمی به نام فرکتال گردید. از لحاظ واژه مندلبرت انتخاب اصلاح فرکتال (fractal) را از واژه لاتین fractus یا fractura (به معنای شکسته) گرفت تا به ماهیت قطعه قطعه شونده که یکی از مشخصه‌های اصلی این فرم است، تاکید داشته باشد. فرهنگستان لغت و زبان فارسی کلمه برخال را برای فرکتال تصویب کرده‌است. کلمه فرکتال به معنی سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد. بی‌نظمی یا آشوب چیست؟ Chaos در لغت به معنای در هم ریختگی، آشفتگی، بی‌نظمی است و مترادف آن در مکانیک Turbulance یا تلاطم می‌باشد. این واژه به معنی فقدان هرگونه ساختار یا نظم است و معمولاً در محاورات روزمره آشوب و آشفتگی نشانه بی‌نظمی و سازمان نیافتگی، ناکارایی و در هم ریختگی به نظر آورده می‌گردد. و جنبه منفی در بر دارد. اما با پیرایش نگرش جدید و روشن شدن ابعاد علمی و نظری آن امروزه دیگر بی‌نظمی و آشوب به مفهوم سازمان نیافتگی و درهم ریختگی تلقی نمی‌گردد. بلکه بی‌نظمی وجود جنبه‌های غیر قابل پیش‌بینی و اتفاقی در پدیده‌های پویاست که ویژگی خاص خود را داراست. بی‌نظمی نوعی نظم غائی در بی‌نظمی است. هیلز در ۱۹۹۰ آشوب را اینگونه تعریف می‌کند: «بی‌نظمی و آشوب نوعی بی‌نظمی منظم یا نظم در بی‌نظمی است بی‌نظمی از این رو که نتایج آن غیر قابل پیش‌بینی است و منظم بدان جهت که از نوعی قطعیت برخوردار است». تعریف هیلز از بی‌نظمی مصداق کلمه لاتین آن است یعنی Orderly Disorder در نظم بی‌نظمی است و در بی‌نظمی نوعی نظم وجود دارد که همان تعریف هیلز است. همچنین آدامس (H.Adams) آشفتگی را اینگونه تعریف می‌کند: از آشفتگی زندگی زائیده می‌شود در حالیکه از نظم عادت به وجود می‌آید. بی‌نظمی در مفهوم علمی یک مفهوم ریاضی محسوب می‌شود که شاید نتوان خیلی دقیق آن را تعریف کرد اما می‌توان آن را نوعی اتفاقی بودن همراه با قطعیت دانست. قطعیت آن به خاطر آن است که بی‌نظمی دلایل درونی دارد و به علت اختلالات خارجی رخ نمی‌دهد، اتفاقی بودن آن به دلیل آن است که رفتار بی‌نظمی، بی‌قاعده و غیر قابل پیش‌بینی است.

ویژگی‌های تئوری آشوب (بی‌نظمی):

اثر پروانه‌ای (Butterfly Effect) ۲. سازگاری پویا (Dynamic Adaptation) ۳. جاذبه‌های غریب (Strange Attractors) ۴. خود مانایی (Self Similarity)

اثر پروانه‌ای:

اثر پروانه‌ای نام پدیده‌ای است که به دلیل حساسیت سیستم‌های آشوب‌ناک به شرایط اولیه ایجاد می‌شود. این پدیده به این اشاره می‌کند که تغییری کوچک در یک سیستم آشوب‌ناک چون جو سیاره‌ی زمین (مثلا بال‌زدن پروانه) می‌تواند باعث تغییرات شدید (وقوع توفان در کشوری دیگر) در آینده شود.
عبارت «اثر پروانه ای» در پی مقاله ای از ادوارد لورنتس بوجود آمد. وی در صد سی و نهمین اجلاس ای‌ای‌ای‌اس در سال ۱۹۷۲ مقاله‌ای با اين عنوان ارائه داد که «آيا بال‌زدن پروانه‌ای در برزيل می‌تواند باعث ايجاد تندباد در تکزاس شود؟
لورنتس در پژوهش بر روی مدل رياضی بسيار ساده‌ای از آب و هوای جو زمين، به معادله‌ی ديفرانسيل غير قابل حل رسيد. وی برای حل اين معادله از روش‌های عددی به کمک رایانه بهره جست. او برای اين‌که بتواند اين کار را در روزهای متوالی انجام دهد، نتيجه آخرين خروجی يک روز را به عنوان شرايط اوليه روز بعد وارد می‌کرد. لورنتس در نهايت مشاهده کرد که نتيجه شبيه‌سازی‌های مختلف با شرايط اوليه يکسان با هم کاملا متفاوت است. بررسی خروجی چاپ شده رایانه نشان داده که رویال مک‌بی (Royal McBee)، رایانه‌ای که لورنتس از آن استفاده می کرد، خروجی را تا ۴ رقم اعشار گرد می‌کند. از آنجایی که محاسبات داخل اين رایانه با ۶ رقم اعشار صورت می گرفت، از بين رفتن دو رقم آخر باعث چنين تاثيری شده بود. مقدار تغييرات در عمل گرد‌کردن نزديک به اثر بال‌زدن يک پروانه است. اين واقعيت غيرممکن بودن پيش‌بینی آب و هوا در دراز مدت را نشان می دهد.
مشاهدات لورنتس باعث پررنگ شدن مبحث نظریه آشوب شد. عبارت عاميانه «اثر پروانه ای» در زبان تخصصی نظریه آشوب، «وابستگی حساس به شرايط اولیه ترجمه می شود  .

  به غير از آب و هوا، در سيستمهای پویای ديگر نيز حساسيت به شرايط اوليه به چشم می خورد. يک مثال ساده، توپی است که در قله کوهی قرار گرفته. اين توپ با ضربه بسيار کمی، بسته به اينکه ضربه از چه جهتی زده شده باشد، می تواند به هرکدام از دره های اطراف سقوط کند . تئوری اغلب سیستم ها                                                                                                                                                                            
در دنيای واقعی طی تکرار يک عمليات مشخص کار می کنند. در مثال آب و هوای لورنتس فرايند گرم شدن سطح زمين از طرف خورشيد و سرد شدن جو از طريق تابش به فضای بیرون، فرايندی است که مدام تکرار می شود. می توان نشان داد که در چنين سيستمی بازه ای از مقادير اوليه با عث ايجاد رفتار آشوبناک می شود. مثال ساده زير را در نظر بگيريد:
برای اينکه نتيجه عملکرد سيستم فوق را بتوانيم بهتر درک کنيم از نموداری به اين شرح استفاده می کنيم. ابتدا تابع y = x2 + c را رسم کرده و خط y = x را نيز روی آن می کشيم. روی نمودار، مقداری اوليه ای برای x0 درنظر می گيريم. مقدار x1 با رسم يک خط عمودی از اين عدد تا نمودار y = x2 + c بدست می آيد. برای بدست آوردن نقطه بعدی بايد مقدار قبلی y را به جای مقدار فعلی x بگذاريم. اين کار با رسم يک خط افقی از نقطه برخورد قبلی تا نمودار y = x انجام می شود. شکلهای زير با در نظر گرفتن x0 = 0 و به ترتيب، از راست به چپ،
رسم شده اند:


مشاهده می شود که با ايجاد تغييرات جزيي در پارامتر، رفتار سيستم کاملا تغيير می کند. به چنين رفتاری «وابستگی حساس به شرايط اوليه» يا «اثر پروانه ای» می گويند.
اگر مجموعه مقاديری که x در طول عملکرد سيستم به خود می گيرد را نسبت به c رسم کنيم، شکل بدست آمده يک فراکتال (برخال) خواهد بود:

تعریف ریا ضی

یک سیستم پویا بانقشه تکامل ft وابستگی حساس به شرایط اولیه دارد، اگر نقاط نزدیک به هم با افزایش t از هم جدا شوند. اگر M فضای حالت نقشه ft باشد، می گوییم ft به شرایط اولیه وابستگی حساس نشان می دهد وقتی که حداقل یک δ>۰ وجود داشته باشد بطوری که به ازای هر نقطه xM و هر همسایگی از N که x را در بر داشته باشد، نقطه ای مانند y در همسایگی N موجود بوده و در زمانی مانند τ رابطه برقرار باشد.
در اين تعریف نیازی نیست که همه نقاط موجود در یک همسایگی، از نقطه مبنای x جدا باشند در رسانه‌ها                                                                       
مفهوم از اثر پروانه‌ای از جهاتی برای داستان‌هایی درباره سفر زمان جذاب است، فیلم اثر پروانه‌ای ساخت نیولاین سینما کاملا از این مفهوم در سفر زمان سود جسته است

همانطور که ذکر گردید با بال زدن یک پروانه در یک کشور آفریقایی ممکن است طوفانی در قاره آمریکا رخ دهد. که این اثر را اثر پروانه‌ای نام‌گذاری کردیم.

 

سازگاری پویا:

سیستم‌های بی‌نظم در ارتباط با محیطشان مانند موجودات زنده عمل می‌کنند و نوعی تطابق و سازگاری پویا بین خود و محیط پیرامونشان ایجاد می‌کنند.

جاذبه‌های غریب:

این جاذبه‌ها نوعی بی‌نظمی در خود دارند که اگر با دقت به آن‌ها بنگریم و نوع دیدگاهمان را نسبت به آن‌ها عوض کنیم. به نظم عمیق آن‌ها پی خواهیم برد. به طور مثال تصاویر هندسی برگرفته شده از قوم اینکا در صحرای پرو حاکی آن است که اگر از نزدیک به آن‌ها بنگریم بی‌نظمی‌ها را نشان می‌دهند اما اگر از دور دست به آن‌ها بنگریم تصاویر معناداری را در ذهن متبادر می‌سازد. این نوع جاذبه‌ها حاوی مطالب مهمی هستند و آن اینست که در نظر اول نباید محیط پیرامون خود را آشوب ناک توصیف کنیم بلکه با تغییر دیدگاه خود می‌توان این آشوب را به یک نظم تبدیل کرد.

خود مانایی:

در تئوری آشوب؛ نوعی شباهت بین اجزا و کل قابل تشخیص است. بدین ترتیب که هر جزئی از الگو همانند و متشابه کل می‌باشد. خاصیت خود مانایی در رفتار اعضای سازمان نیز می‌تواند نوعی وحدت ایجاد کند؛ همه افراد به یکسو و یک جهت و هدف واحدی نظر دارند. این ویژگی ازنظریه بی‌نظمی؛ بیشتر در فرکتال‌ها مورد بررسی قرار می‌گیرد.

نظریه بی‌نظمی در شاخه‌های مختلف ۱. اقتصاد ۲. فیزیک ۳. ریاضی ۴. پرستاری ۵. مدیریت ۶. موسیقی و...

بررسی کوتاه نظریه بی‌نظمی در اقتصاد:

همانطور که گفته شد بعد از پیدایش این نظریه در جهان بشری این نظریه باعث گردید که نوع دیدگاه افراد به مسائل غیر قابل حل و غیر قابل پیش‌بینی عوض گردیده و منجر به ارائه شیوه‌های جدیدی برای مطالعه جریانات بسیار پیچیده که به ظاهر تصادفی و غیر قابل پیش‌بینی به نظر می‌رسد گردد. بیشترین کاربرد آن در اقتصاد پیش‌بینی متغیرهای پولی و مالی و بازارهای جهانی به ویژه بازار نفت و مدل‌های اقتصاد کلان جاری در کشورهای مختلف است. اینکه چگونه یک اقتصاد دان از این وضع آشوب‌ناک استفاده کرده و به سود سرشار دست بیابد بسیار مشکل است چون همانطور که گفته شد اساس این نظریه غیر قابل پیش‌بینی بودن آن است اما اگر نوع دیدگاه انسان به آن عوض شود شاید باعث پیش‌بینی درست از وضعیت سیستم آشوبناک گردد.

بررسی نظریه بی‌نظمی در پرستاری و موسیقی:

ممکن است شما به یک موسیقی گوش داده و از آن لذت فراوانی ببرید آیا می‌دانید تک تک نت‌های این موسیقی ممکن است از بی‌نظمی برخوردار باشند یعنی اگر به نت‌ها به دقت گوش دهید دیگر آن موسیقی آن چنان جذابیت نداشته باشد اما همین نت‌ها هنگامی که کنار هم قرار می‌گیرند موسیقی زیبایی را پایه‌گذاری می‌کنند. اما در مورد پرستاری! شاید برایتان این گفته خنده دار باشد اما باید حتی در مواظبت از بیماران روانی یا افرادی که مشکل روحی دارند باید روشی را در پیش گرفت که همانند ریاضیات به معادله غیر قابل حل روان آنها دست پیدا کرده و آن را حل کنیم تا این بیمار علاج یابد یعنی باید حرکات او را زیر نظر گرفته و با راه حلی آسان آشفتگی‌های او را به نظم تبدیل کرده تا بیمار ما شفا پیدا کند. اما در ریاضیات: همانطور که گفته شد نظریه بی‌نظمی مفهومی ریاضی دارد. حال بر آنیم تا خلاصه‌ای از بحث فرکتال که بی‌ربط با تئوری بی‌نظمی یا آشوب نیست در این جا بیاوریم. چگونگی ایجاد فرکتال‌ها را توضیح دادیم. حال اگر بخواهیم از دید کلی به آن‌ها بنگریم فرکتال‌ها به ۳ دسته تقسیم می‌گردند. ۱- هندسه فرکتالی ۲- فرم فرکتالی ۳- حجم فرکتالی فرکتال‌ها ویژگی‌ها نیز دارند: ۱- خودمانایی ۲- عدم بعد صحیح ۳- در مقیاس کوچک پیچیده‌اند ۴- تابع بازگشتی قبل از آن که ویژگی‌های فرکتال را توضیح دهیم برای یادآوری فرکتال را تعریف می‌کنیم. فرکتال شکل هندسی نامنظمی است که به قسمت‌های تقسیم می‌گردند که این اشکال همه شبیه به هم و همه نشانه‌ای از شکل اصلی هستند مثلا درخت کاج. در درخت کاج هر یک از شاخه‌های آن خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی در مقیاس بسیار کوچکتر همچنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد. یعنی هر شاخه درخت کاج در مقایسی کوچکتر نماینده درخت کاج بزرگتر می‌باشد. فرکتال‌ها ممکن است در طبیعت دیده شوند یا توسط کامپیوتر درست گردند و یا توسط انسان در نقاشی‌ها. فرکتال‌ها از قواعد تکرار یا همان توابع بازگشتی پیچیده درست می‌گردند.

 

آشوب در معده و سیگنالهای معنی دار:

امروزه در بسیاری از مقالات و کتب به روز می‌توان نشانه‌هایی از توجه به این حقیقت را یافت. دانشمندان دریافته‌اند که پردازش و مدلسازی رفتارهای کیاتیک سیستم گوارشی تنها از طریق این گونه ریاضیات قابل دست یابی است.
علم آشوب در بحث Order and Chaos چگونه ما را در مطالعه معده یاری می‌کند؟
این که کیاس می‌تواند ما را در تعیین نوع سلامت یک دینامیک یاری کند، در بیولوژی معنای زیادی دارد. یک اندام سالم در طول زمان در یک بستر جذب دینامیک خود را طی می‌کند و با وجود این که الگوهای خودسازمانده از خود بروز می‌دهد، ولی عدم قطعیت بر آن حاکم است و در شرایط مختلف در جاهای مختلف از بستر جذب خود حرکت می‌کند. در حالی که این تغییرات برای حالت بیمار یا تصادفی است یا به سمت یک حالت کاملاً خاص حرکت می‌کند و رفتار آن می‌تواند کاملاً قابل پیش بینی باشد. در چنین شرایطی قدرت پاسخ‌گویی بی معنا می‌شود.
در معده سالم این رفتارهای خود سازمانده در طول زمان مشاهده می‌شود، اگر چه ریتم‌های حرکات معده بسته به نوع غذا و شرایط فیزیکی و روانی متفاوت، تغییر می‌کند، ولی دینامیک یک معده سالم، در بستر معینی حرکت می‌کند.
ساختارهای فراکتال در علم آشوب چگونه به منظور مطالعه معده مورد استفاده قرار می‌گیرند؟
استفاده از ساختارهای فراکتال در مطالعه معده، از بررسی ساختار فراکتال رگ‌ها و مویرگ‌ها و سیاهرگ‌ها تا مدلسازی عضلات معده و شکل معده و فعالیت آن می‌تواند کاربردی باشد. غذاهای متفاوت با ساختارهای متفاوت در زمان‌های متفاوت از شرایط روحی و جسمی وارد این محفظه کوچک شده و در آن جا با هم مخلوط می‌شوند، اسید روی آن ریخته شده و با اسید معده مخلوط شده و به دلیل وجود همین حرکات معده به جلو رانده می‌شوند.
اگر شکل معده و نحوه حرکات آن به صورتی که وجود دارد نبود چه مشکلاتی پدید می‌آورد و این همان بحث رابطه ساختار با رفتار است؟
مثلاً اگر معده حالت مایل نداشت، غذا سریع‌تر از معده خارج می‌شد و همین امر هضم و جذب غذا را با مشکل مواجه می‌ساخت.
وجود ساختارهای فراکتال گونه در رگ‌های پخش شده در سطح معده نیز قابل مشاهده است.
در حقیقت، یکی از پرکاربردترین مباحثی که در رشته مهندسی پزشکی مطرح است، بحث پردازش سیگنال‌های بیولوژیک است. بدون شک درک رفتار و دینامیک یک سیستم از طریق مشاهده خروجی‌های آن به عنوان اولین روش شناخت می‌تواند مد نظر قرار گیرد. این مسئله در مطالعه سیستم‌های بیولوژیک بیشتر نمود می‌یابد. از آن جا که دستیابی به اندام‌ها (مثلاً به منظور مطالعه رفتار و عملکرد مغز) به آسانی میسر نیست، بعضاً حتی اگر بتوان چنین شرایطی را ایجاد کرد، لزوماً به شناخت صحیحی دست نیافته‌ایم که این معلول قطع تعاملات در چنین شرایطی است.
در نظر گرفتن تعامل بین اجزای سیستم و کل نگری، درک ارتباط دینامیک سیستم و هندسه حاکم بر آن (هندسه و دینامیک از یک مفهوم نشئت گرفته اند)، عدم قطعیت در اندازه گیری‌های سیستم به عنوان خاصیت ذاتی، مفهوم صحیح اطلاعات در یک سیستم و میزان آگاهی ما از این اطلاعات (شرایط ill-defined) به عنوان اصولی که این علم به آن‌ها می‌انجامد، نگرش جدیدی را در پیش روی ما قرار می‌دهند.
آن چه که آشوب در مطالعه ریاضی دینامیک سیستم نشان می‌دهد بسیار شگفت انگیز است. در این علم می‌توان دینامیک سیستم را تنها از روی چند متغیر به دست آورد و می‌توان در معادله ای مثلاً با سه متغیر تنها با داشتن یک متغیر به کل دینامیک دست یافت!!! بدون شک تنها دلیل چنین ادعایی وجود تعاملات در سیستم است. متغیرها بر هم اثر دارند و این تاثیرات نه تنها به صورت علت و معلولی نیست، بلکه منشأ اطلاعاتی دارد.
در این علم، دینامیک واقعی حاکم بر سیستم آشوب‌گونه توصیف می‌شود و تظاهرات تصادفی که در ثبت وجود دارد و بسیاری آن را نویز می‌دانند، در واقع پویایی سیستم است، که شکل تصادفی دارد ولی در دل آن نظمی متعالی به چشم می‌خورد.
حقیقت این است که اطلاعات ما از دینامیک سیستم به صورت ناقص است. آشوب نه تنها این مسئله را نقص در مطالعات می‌داند، بلکه آن را لازمه دینامیک سیستم می‌شمارد! بدین ترتیب مباحثی چون Data Mining و Information Processing در علم نوین در حال گسترش روز افزون است.
واقعیت پدیده‌های بیولوژیک در فضایی از عدم قطعیت اتفاق می‌افتد. فضایی که پدیده رفتارهای پریودیک صرف از خود نشان نمی‌دهد و به منظور حفظ بقای ارگان، نیاز به رفتارهای متنوع اما در رنج محدودی وجود دارد. رنجی که اگر چه تظاهرات تصادفی دارد اما در واقعیت، ارتباطی عمیق را معنا می‌دهد. در این رنج از فعالیت ارگان‌ها و اندام‌ها، حرکاتِ ریتمیک شکل، بروز و ظهور مشخصی ندارند بدین معنا که تپش قلب مطمئناً به صورت پریودیک نخواهد بود. در بررسی آشوب در معده نیز شبیه به قلب رفتارهای ریتمیک داریم که آشوب‌گونه هستند و در ادامه این امر در شبیه سازی‌ها اثبات می‌شود.
با در نظر گرفتن کلی سیستم معده و ثبت فعالیت الکتریکی ناشی از این فعالیت‌ها به منظور درک عملکرد، الگوی spatiotemporal کیاتیک قابل مشاهده است که ناشی از فعالیت‌های متفاوت معده (مخلوط سازی، حل کردن غذا در اسید معده، به جلو راندن و ) است. این سیگنال در اصطلاح gastric   myoelectrical  activity (GMA)  نامیده می‌شود.
نرخ فعالیت معده به صورت کیاتیک است. این تغییرات در ورزش، فشارهای عصبی و روانی، و فعالیت‌های فیزیکی تنوع می‌یابد اگر چه الگوی کیاتیک خود را حفظ می‌کند.
سیگنال هایی که در بررسی‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد از سگ و انسان ثبت شده است که کانال‌های ثبت شده است. الگوهای خودسازمانده قابل مشاهده هستند، اگر چه که این ریتم‌ها شکل کاملاً منظمی ندارند ولی این تغییرات ناشی از نویز نیست، بلکه دینامیک حاکم بر سیستم مسبب آن است که شبیه‌سازی‌ها نیز موید آن است.
این سیگنال‌ها، دارای سه فاز فعالیت هستند. فاز اول که در آن انقباض عضلانی نداریم و spike‌های قابل مشاهده تعداد کمی هستند. فاز دوم که مرحله شروع انقباض است و اسپایکهای بیشتری قابل مشاهده است. فاز سوم که انقباض کلی رخ می‌دهد و اسپایکهای زیادی قابل مشاهده است. مدت زمان ثبت از ۳۰ دقیقه تا ۱۲۰ دقیقه متفاوت است.
الکتروفیزیولوژی و آشوب در معده:
حقیقت و واقعیت نهفته در پشت این سیگنال‌ها چیست؟
پاسخ این سوال در فعالیت کیاتیک سلول‌های معده معنا می‌یابد! شکل ۴ مدلی از سلول‌های معده را نشان می‌دهد که توسط هاجکین-هاکسلی ارائه شده و الگوهای جالبی را از خود بروز می‌دهد.
در فازهای مختلف از فعالیت معده این رفتارها بروز می‌یابند.
دو مشخصه آشوب در آزمایشات بیولوژیک و پدیده‌های زنده قابل مشاهده و توصیف است. بسیاری از فعالیت‌های الکتریکی بیولوژیک چنین الگوهایی را از خود بروز می‌دهند.
۱ Slow Oscillators Omnipresent
۲ Intermittently superimposed with Spiky activity: Fast Oscillation
Spike‌
ها، دارای مولفه‌های فرکانسی بالاتری هستند که occurrence آن‌ها ناپیوسته و تصادفی است. بدین ترتیب Spike‌ها و رفتارهای اسیلاتوری آرام دارای تفاوت هایی در اربیت‌های پریودیک هستند به گونه ای که اربیت‌های پریودیک Spike‌ها ناپایدار است. این تغییر حالت دینامیک سیستم به دلیل وجود تعاملات بین سلول‌های معده است که درجات آزادی سیستم راتغییر داده و رفتاری بروز می‌دهد که در کل متفاوت از اثر تک تک اجزاست. رفتار کیاتیک کل در معده منجر به این همه تنوع در انجام فعالیت‌های گوارشی در این اندام کوچک اما موثر است.
آنالیز بایفورکیشن نشان از تائید و تصدیق آن چیزی است که آن را تحت عنوان تعامل می‌شناسیم. این جا است که مشخصه مورفولوژیکال نیز ما را در درک آن چه علم آشوب به ما می‌آموزد، یاری می‌کند. این آشوب است که نشان می‌دهد نتیجه فعالیت ۱۰۰‌ها میلیون سلول گوارشی در پیکره‌ای به نام معده، متفاوت از فعالیت تک تک آن‌ها است و تعامل درجه آزادی سیستم را کاهش می‌دهد اما تا جایی که قابلیت تطبیق را از بین نرود.
به این ترتیب به منظور پردازش سیگنال‌ها در حوزه آشوب (نگرش کل نگر) و ریاضیاتی کردن آن باید از ویژگی هایی که کلیات دینامیک سیستم توصیف می‌کنند استفاده کرد. از جمله ویژگی‌های کلی سیستم می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:
information and entrop
 lyapunov exponent
correlation dimention

fractal dimentim

      که مورد ۱ و ۲ در ادامه به صورت خلاصه توضیح داده می‌شوند.
آنتروپی و اطلاعات به عنوان ویژگی‌های کلی به حساب می‌آیند که می‌توانند سیستم را هویت‌یابی کنند. در این جا مفهوم آنتروپی شانونی منتفی است و این ناشی از آن است که در سیستم آشوب‌گونه آنتروپی قبض و بسط می‌شود، زیرا مفهوم اطلاعات نیز معنای واقعی خود را دارد. در آنتروپی شانونی که برای سیستم‌های بسته در نظر گرفته می‌شود، اطلاعات سیستم مصرف می‌شود، بنابراین با کاهش اطلاعات آنتروپی افزایش می‌یابد؛ اما در آشوب، اطلاعات در سیستم بعضی از مواقع نه تنها کم نمی‌شود، بلکه افزایش نیز می‌یابد. این افزایش اطلاعات ناشی از تزریق آن به سیستم نبوده بلکه جزء خواص ذاتی محسوب می‌شود. به این ترتیب سیستم باز بوده و با محیط خود تعامل دارد و افزایش آنتروپی به معنای افزایش اطلاعات و درجه آزادی است و متعاقباً تطبیق پذیری سیستم بیشتر خواهد شد که این به معنای افزایش پاسخ گویی سیستم به شرایط جدید و غیرقابل پیش بینی است.
بدین ترتیب معنای احتمالات نیز معنای جدیدی می‌یابد. در معنای شانونی بیت‌های اطلاعاتی دارای مفهوم اطلاعات از نوع شانس بوده و عدم قطعیت در مشاهدات ناشی از اثر محیط روی پارامترهای سیستم است؛ احتمال در این نگرش از نتیجه چندین آزمایش در شرایط استاندارد (بسته فرض کردن سیستم) به دست می‌آید که این گونه بدست آوردن احتمال با نگرشی غیرواقعی است. در حالی که عدم قطعیت در سیستم کیاتیک از نوع عدم قطعیت هایزنبرگی است یعنی اگر چه تغییر پارامتر داریم ولی این تغییرات در کل فضای اطلاعاتی نیست و در یک کلاستر است. در آشوب عدم قطعیت ناشی از ذات سیستم بوده و ناشی از تعاملات و علت و معلول‌های دورانی است.
بنابراین آن چه که آشوب به ما نشان می‌دهد همان ریاضیات مرتبط با کل نگری است که به وسیله آن می‌توان دینامیک واقعی سیستم را شناخت و در جهت حل مسایل به خصوص در حوزه مهندسی پزشکی گام‌های موثرتر و صحیح تری برداشت.
این مفاهیم در ادامه از طریق شبیه سازی مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است.
 بازسازی بستر جذب عجیب:
به منظور بررسی سیگنال در فضای حقیقی باید رفتار آن در فضای نسبیت بررسی شود. رابطه بازگشتی اول و دوم اشاره به همین مفهوم دارد. در این نگرش فضای نسبیت فضای لازم برای درک دینامیک سیستم است. روابط بازگشتی و iterative به صورت علت و معلولی نبوده و نتیجه تعاملات ذاتی از آن جایی که این روابط از دینامیک است.                                              

مثلث خیام:

یکی از بی‌نظمی‌های دیده شده مثلث خیام است. خیام در ریاضیات تبحر خاصی داشت. پس از به وجود آوردن این مثلث توسط خیام، خیام به بی‌نظمی‌هایی در آن پی برد اولین بی‌نظمی در تعداد اعداد خود این جدول بود که با سری، و و ایجاد می‌گردید یعنی سری به صورت زیر ۸ ۸ ۴ ۸ ۴ ۴ ۲ با حذف جملات زوج دیده می‌شود که این سری با همان جملات دیده می‌شود. ۱۶ ۸ ۸ ۴ ۸ ۴ ۴ ۲ همچنین با رنگ کردن اعداد فرد زوج مثلث خیام به مثلث‌هایی با مقیاس‌ کوچکتر اما هم شکل با مثلث بزرگتر تبدیل می‌گردد.یعنی همان تعریف فرکتال.!!که این خود نوعی فرکتال می‌باشد از خواص دیگر این مثلث پیدا کردن اعداد فرد تا سطر n ام است که از بحث در مورد آن صرف نظر می‌کنیم.

نتیجه‌گیری و جمع‌بندی(آشوب)

اصولا هر پدیده درجهان دارای نظمی است ممکن است در ان بی نظمی دیده شود.اما در هر بی نظمی نظمی نهفته وجود دارد که با تغییر دیدگاه ما این بی نظمی به نظمی عمیق تغییر می‌کند. پس سعی کنیم نوع دیدگاه خود را نسبت به عمور جهان عوض کنیم.

كاربرد فراكتال در كامپيوتر:

موجک کاربردها

از فراکتال هابه منظور تسهیل در امور مربوط به مدل‌سازی پیچیدگی در زمینه‌های گو‌ناگون علمی و مهندسی استفاده به عمل می‌آید. از جمله زمینه‌های مهم کاربردی موارد زیر را می‌توان برشمرد:

گرافیک رایانه‌ای

پردازش تصاویر

نظریه موجک‌ها

 (برگرفته از از ویکی‌پدیا، دانشنامه آزاد)

گرافیک رایانه‌ای یا گرافیک کامپیوتری (Computer graphics) :

یکی از قدیمی‌ترین شاخه‌های علوم رایانه است که به ترسیم، تغییر، و کار با تصاویر به شیوه‌های محاسباتی و رایانه‌ای اقدام می‌نماید. گرافیک رایانه‌ای یکی از پرجاذبه‌ترین و وسیع‌ترین کاربردهای رایانه‌هاست. بازیهای رایانه‌ای، برنامه‌های ساخت پویانمایی‌ دوبعدی و سه‌بعدی، شبیه‌سازیهای محاسباتی، و پردازش تصاویر را می‌شود به‌عنوان چند نمونه نام برد.


 

 

         

 

 

قوری یوتا

نرم‌افزارهای گرافیکی

نرم‌افزارهای مورد استفاده در کارهای گرافیکی را می‌توان به دو دسته بزرگ تقسیم کرد:

نرم‌افزارهای با کاربرد ویژه

نرم‌افزارهای عمومی گرافیکی رفته‌تر، به حسابان، معادلات دیفرانسیل، هندسه دیفرانسیل، و روشهای عددی اشاره نمود.

گرافیک دوبعدی

در اینگونه گرافیک، اشکال و اشیاء همه بر روی یک صفحه ترسیم و ارائه می‌شوند. این نوع گرافیک به خاطر پردازش سبکش خیلی به قدرت کارت گرافیک نیاز ندارد و فقط وقت cpu را اشغال می‌کند . برای کار با گرافیک دو بعدی نرم افزار‌هایی ساخته شده مانند فتو شاپ - فتوایمپکت - کورل و غیره که فقط روی گرافیک دو بعدی کار می‌کنند و نرم افزار‌هایی ساخته شده مثل ماکرو مدیا فلش که چند رسانه‌ای هستند .گرافیک دو بعدی در وب سایت‌ها و نرم افزار‌های معمولی به کار می‌رود.

گرافیک سه‌بعدی

گرافیک و صنعت چاپ

امروزه، باید گرافیک و بویژه گرافیک رایانه‌ای را عضو جداناشدنی صنعت مدرن چاپ و نشر رقومی (دیجیتال) دانست. مثلاً، برای چاپ یک کتاب، از مرحله حروف‌چینی و حتی ویرایش گرفته تا زمان لیتوگرافی، چاپ، و صحّافی به نوعی با گرافیک رقومی سر و کار داریم.

کاربردهای مشترک گرافیک سه بعدی :

گرافیک سه بعدی در برنامه‌های کامپیوتری جدید کاربرد بسیاری دارد. استفاده که برنامه‌ها از گرافیک سه بعدی می‌کنند از بازیهای تعاملی سه بعدی تا شبیه سازی و پزشکی و مصارف شغلی متفاوت است. محصولات پر کیفیت سه بعدی راه خودشان را به سمت فیلمها و صنعت و آموزش به خوبی پیدا کرده‌اند.

Real-time 3D : همانگونه که قبلا تعریف شد گرافیک‌های سه بعدی بی‌درنگ متحرک هستند و با کاربر فعل و انفعال دارند. یکی از اولین استفاده‌ها از گرافیک بی‌درنگ سه بعدی شبیه سازی پرواز در امور نظامی بود.

هر چند امروزه شبیه سازهای پرواز به سرگرمی مشهوری برای مشتاقان خانگی تبدیل شده‌اند. تصویر 15-1 یک اسکرین شات از یک شبیه ساز پرواز معروف را نشان می‌دهد که از OpenGL برای رندر سه بعدی استفاده کرده‌است.

برنامه‌ها برای گرافیک سه بعدی بر روی کامپیوترها تقریبا بیشمار هستند. شاید عمومی ترین استفاده از گرافیک کامپیوتری سه بعدی بازیهای رایانه‌ای باشند. امروزه به سختی می‌توان کامپیوتری را یافت که نیاز به یک کارت گرافیک سه بعدی نداشته باشد. سه بعدی همیشه برای تجسمات علمی و برنامه‌های مهندسی معروف بوده‌است. رابط‌های گرافیکی نرم افزاری هم از سخت افزار سه بعدی استفاده فراوان می‌برند. برای مثال ورژن کنونی سیستم عامل مکینتاش یعنی Mac OS X برای رندر کردن تمام پنجره‌ها و کنترل‌ها و جلوه‌های تصویری از OpenGL استفاده می‌کند. تصاویر 16-1 ال 20-1 تعدادی از برنامه‌های بیشماری را نشان می‌دهد که برای رندر تصاویرشان و تولید تصاویر سه بعدی تعاملی از OpenGL استفاده می‌کنند.

گرافیک سه بعدی غیر همزمان Non-Real-Time : برای برنامه‌هایی که از گرافیک سه بعدی بی‌درنگ استفاده می‌کنند قانونی وجود دارد. با دادن فرصت بیشتری برای پردازش تصاویر شما می‌توانید گرافیک‌های سه بعدی با کیفیت بالاتری ایجاد نمایید. به طور مثال بعضی از نرم افزارهای مدل سازی از گرافیک سه‌بعدی بی‌درنگ برای تقابل با هنرمند برای خلق محتوای مورد نظرش استفاده می‌کنند. سپس تصاویر به برنامه دیگری فرستاده می‌شوند (ray tracer) که تصاویر را رندر می‌کنند. رندر کردن یک فریم تنها برای انیمیشنی مانند داستان اسباب بازی به ساعتها زمان بر روی یک کامپیوتر سریع نیاز دارد. این پروسه رندر و ذخیره سازی صدها فریم یک انیمیشن را می‌سازد که بطور رشته متوالی قابل پخش مجدد می‌باشد. اگرچه پخش تصاویر انیمیشن ممکن است یک عمل بی‌درنگ به نظر برسد اما اینطور نیست. چون آن اینتراکتیو نیست در نتیجه آن بی‌درنگ نیست بلکه بیشتر یک سری تصاویر از پیش رندر شده می‌باشد.

پردازش تصویر

Halftone example black and white.png

پردازش تصاویر امروزه بیشتر به موضوع پردازش تصویر دیجیتال گفته می‌شود که شاخه‌ای از دانش رایانه است که با پردازش سیگنال دیجیتال که نماینده تصاویر برداشته شده با دوربین دیجیتال یا پویش شده توسط پویشگر هستند سر و کار دارد.

پردازش تصاویر دارای دو شاخه عمده بهبود تصاویر و بینایی ماشین است. بهبود تصاویر دربرگیرنده روشهایی چون استفاده از فیلتر محوکننده و افزایش تضاد برای بهتر کردن کیفیت دیداری تصاویر و اطمینان از نمایش درست آنها در محیط مقصد(مانند چاپگر یا نمایشگر رایانه)است، در حالی که بینایی ماشین به روشهایی می‌پردازد که به کمک آنها می‌توان معنی و محتوای تصاویر را درک کرد تا از آنها در کارهایی چون رباتیک و محور تصاویر استفاده شود.

در معنای خاص آن پردازش تصویر عبارتست از هر نوع پردازش سیگنال که ورودی یک تصویر است مثل عکس یا صحنه‌ای از یک فیلم.خروجی پردازشگر تصویر می‌تواند یک تصویر یا یک مجموعه از نشانهای ویژه یا متغیرهای مربوط به تصویر باشد.اغلب تکنیک‌های پردازش تصویر شامل برخورد با تصویر به عنوان یک سیگنال دو بعدی و بکاربستن تکنیک‌های استاندارد پردازش سیگنال روی آنها می‌شود. پردازش تصویر اغلب به پردازش دیجیتالی تصویر اشاره می‌کند ولی پردازش نوری و آنالوگ تصویر هم وجود دارند.این مقاله در مورد تکنیک‌های کلی است که برای همه آنها به کار می‌رود.

عملیات اصلی در پردازش تصویر

تبدیلات هندسی: همانند تغییر اندازه، چرخش و...

رنگ: همانند تغییر روشنایی، وضوح و یا تغییر فضای رنگ

ترکیب تصاویر : ترکیب دو و یا چند تصویر

فشرده سازی تصویر : کاهش حجم تصویر

قطعه بندی تصویر : تجزیه تصویر به قطعات با معنی

تفاوت تصاویر : به دست آوردن تفاوت‌های تصویر

میانگین گیری : به دست آوردن تصویر میانگین از دو تصویر

فشرده‌سازی تصاویر

برای ذخیره‌سازی تصاویر باید حجم اطلاعات را تا جایی که ممکن است کاهش داد و اساس تمام روش‌های فشرده‌سازی کنار گذاردن بخش‌هایی از اطلاعات و داده‌ها است.

ضریب یا نسبت فشرده‌سازی است که میزان و در صد کنار گذاشتن اطلاعات را مشخص می‌کند. این روش ذخیره‌سازی و انتقال اطلاعات را آسان‌تر می‌کند و پهنای‌باند و فرکانس مورد نیاز کاهش می‌یابد.

امروزه روش‌هایی متعدد و پیشرفته برای فشرده‌سازی وجود دارد. فشرده‌سازی تصویر از این اصل مهم تبعیت می‌کند که چشم انسان حد فاصل دو عنصر تصویری نزدیک به هم را یکسان دیده و تمایز آنها را نمی‌تواند تشخیص دهد. همچنین اثر نور و تصویر برای مدت زمان معینی در چشم باقی مانده و از بین نمی‌رود که این ویژگی در ساخت تصاویر متحرک مورد توجه بوده‌است.

روش JPEG

نام این فرمت در واقع مخفف کلمات JOINT PHOTOGRAPHIC EXPERT GROUP است. از این روش در فشرده‌سازی عکس و تصاویر گرافیکی ساکن استفاده می‌شود JPEG اولین و ساده‌ترین روش در فشرده‌سازی تصویر است به همین دلیل در ابتدا سعی شد برای فشرده‌سازی تصاویر متحرک مورد استفاده قرار گیرد. برای این منظور تصاویر به صورت فریم به فریم مانند عکس فشرده می‌شدند وبا ابداع روش MOTION JPEG برای ارتباط دادن این عکس‌ها به هم تلاش شد که با مشکلاتی همراه بود.

روش MPEG

نام این فرمت مخفف عبارت MOVING PICTURE EXPERT GROUP است. این روش در ابتدای سال ۹۰ ابداع شد و در آن اطلاعات تصویر با سرعت حدود ۵/۱ مگابیت بر ثانیه انتقال پیدا می‌کرد که در تهیه تصاویر ویدئویی استفاده می‌شد. با این روش امکان ذخیره حدود ۶۵۰ مگابایت اطلاعات معادل حدود ۷۰ دقیقه تصویر متحرک در یک دیسک به وجود آمد. در MPEG بیت‌های اطلاعات به صورت سریال ارسال می‌شوند و به همراه آنها بیت‌های کنترل و هماهنگ‌کننده نیز ارسال می‌شوند که موقعیت و نحوه قرارگیری بیت‌های اطلاعاتی را برای انتقال و ثبت اطلاعات صدا و تصویر تعیین می‌کند.

روش MP۳

MP۳ نیز روشی برای فشرده سازی اطلاعات صوتی به ویژه موسیقی است که از طریق آن حجم زیادی از اطلاعات صوتی در فضای نسبتاً کوچکی ذخیره می‌شود.

روش MPEG۲

در روش MPEG۲ از ضریب فشرده‌سازی بالاتری استفاده می‌شود و امکان دسترسی به اطلاعات ۳ تا ۱۵ مگابیت بر ثانیه‌است از این روش در دی‌وی‌دی‌های امروزی استفاده می‌شود در اینجا نیز هر فریم تصویری شامل چندین سطر از اطلاعات دیجیتالی است.

روش MPEG ۴

از این روش برای تجهیزاتی که با انتقال سریع یا کند اطلاعات سرو کار دارند استفاده می‌شود. این روش توانایی جبران خطا و ارائه تصویر با کیفیت بالا را دارد. مسئله خطا و جبران آن در مورد تلفن‌های همراه و کامپیوترهای خانگی و لپ‌تاپ‌ها و شبکه‌ها از اهمیت زیادی برخوردار است. در شبکه‌های کامپیوتری باید تصویر برای کاربرانی که از مودم‌های سریع یا کند استفاده می‌کنند به خوبی نمایش داده شود، در چنین حالتی روش MPEG ۴ مناسب است. از این روش در دوربین‌های تلویزیونی نیز استفاده می‌شود. ایده اصلی این روش تقسیم یک فریم ویدئویی به یک یا چند موضوع است که مطابق قاعده خاصی کنار هم قرار می‌گیرند مانند درختی که از روی برگ‌های آن بتوان به شاخه تنه یا ریشه آن دست یافت. هر برگ می‌تواند شامل یک موضوع صوتی یا تصویری باشد. هر کدام از این اجزا به صورت مجزا و جداگانه قابل کپی و یا انتقال هستند. این تکنیک را با آموزش زبان می‌توان مقایسه کرد.

همان‌طوری‌که در آموزش زبان کلمات به صورت مجزا و جداگانه قرار داده می‌شوند و ما با مرتب کردن آن جملات خاصی می‌سازیم و می‌توانیم در چند جمله، کلمات مشترک را فقط یک‌بار بنویسیم و هنگام مرتب کردن آن‌ها به کلمات مشترک رجوع کنیم، در اینجا هم هر یک از این اجزا یک موضوع خاص را مشخص می‌کند و ما می‌توانیم اجزا مشترک را فقط یک‌بار به کار ببریم و هنگام ساختن موضوع به آنها رجوع کنیم. هر یک از موضوعات هم می‌توانند با موضوعات دیگر ترکیب و مجموعه جدیدی را بوجود آورند. این مسئله باعث انعطاف‌پذیری و کاربرد فراوان روش MPEG۴ می‌شود. برای مثال به صحنه بازی تنیس توجه کنید. در یک بازی تنیس می‌توان صحنه را به دو موضوع بازیکن و زمین بازی تقسیم کرد زمین بازی همواره ثابت است بنا بر این بعنوان یک موضوع ثابت همواره تکرار می‌شود ولی بازیکن همواره در حال حرکت است و چندین موضوع مختلف خواهد بود. این مسئله سبب کاهش پهنای باند اشغالی توسط تصاویر دیجیتالی می‌شود. توجه داشته باشید که علاوه بر سیگنال‌های مربوط به این موضوعات سیگنال‌های هماهنگ کننده‌ای هم وجود دارند که نحوه ترکیب و قرارگیری صحیح موضوعات را مشخص می‌کند.

 

 

تصاویر رقومی(دیجیتالی)

تصاویر سنجش شده که از تعداد زیادی مربعات کوچک(پیکسل) تشکیل شده‌اند. هر پیکسل دارای یک شماره رقمی(Digital Number) می‌باشد که بیانگر مقدار روشنایی آن پیکسل است. به این نوع تصاویر، تصاویر رستری هم می‌گویند.تصاویر رستری دارای سطر و ستون میاشند.

مقادیر پیکسلها

مقدار انرژی مغناطیسی که یک تصویر رقومی به هنگام تصویر برداری کسب می‌کند، رقم‌های دوتایی(Digit binary) یا بیت ها(Bits) را تشکیل می‌دهند که از قوه صفر تا ۲ ارزش گذاری شده‌است.هر بیت، توان یک به قوه ۲ (۱بیت=۲۱)می‌باشد. حداکثر تعداد روشنایی بستگی به تعداد بیت‌ها دارد. بنابراین ۸ بیت یعنی ۲۵۶ شماره رقومی که دامنه‌ای از ۰ تا ۲۵۵ دارد.به همین دلیل است که وقتی شما تصویر رستری از گیرنده خاصی مانند TM را وارد [[نرم افزار]]ی می‌کنید تغییرات میزان روشنایی را بین ۰ تا ۲۵۵ نشان می‌دهد.

دقت تصویر

دقت تصویر بستگی به شماره پیکسل‌ها دارد.با یک تصویر ۲ بیتی، حداکثر دامنه روشنایی ۲۲ یعنی ۴ می‌باشد که دامنه آن از ۰ تا ۳ تغییر می‌کند.در این حالت تصویر دقت (تفکیک پذیری لازم) را ندارد.تصویر ۸ بیتی حداکثر دامنه ۲۵۶ دارد و تغییرات آن بین ۰ تا ۲۵۵ است.که دقت بالاتری دارد.

روش‌های پردازش تصاویر

 کاربرد پردازش تصویر در زمینه‌های مختلف

امروزه با پیشرفت سیستمهای تصویر برداری و الگوریتمهای پردازش تصویر شاخه جدیدی در کنترل کیفیت و ابزار دقیق به وجود آمده‌است.و هر روز شاهد عرضه سیستمهای تصویری پیشرفته برای سنجش اندازه، کالیبراسیون، کنترل اتصالات مکانیکی، افزایش کیفیت تولیدو........هستیم.

 

 

 

اتوماسیون صنعتی

با استفاده از تکنیکهای پردازش تصویر می‌توان دگرگونی اساسی در خطوط تولید ایجاد کرد. بسیاری از پروسه‌های صنعتی که تا چند دهه پیش پیاده سازیشان دور از انتظار بود، هم اکنون با بهرگیری از پردازش هوشمند تصاویر به مرحله عمل رسیده‌اند. از جمله منافع کاربرد پردازش تصویر به شرح زیر است.

افزایش سرعت و کیفیت تولی

کاهش ضایعات

اصلاح روند تولید

گسترش کنترل کیفیت

ماشین بینایی و پردازش تصویر در اتوماسیون صنعتی

کنترل ماشین آلات و تجهیزات صنعتی یکی از وظایف مهم در فرآیندهای تولیدی است. بکارگیری کنترل خودکار و اتوماسیون روزبه روز گسترده تر شده و رویکردهای جدید با بهره گیری از تکنولوژی‌های نو امکان رقابت در تولید را فراهم می‌سازد. لازمه افزایش کیفیت و کمیت یک محصول، استفاده از ماشین آلات پیشرفته و اتوماتیک می‌باشد. ماشین آلاتی که بیشتر مراحل کاری آنها به طور خودکار صورت گرفته و اتکای آن به عوامل انسانی کمتر باشد. امروزه استفاده از تکنولوژی ماشین بینایی و تکنیک‌های پردازش تصویر کاربرد گسترده‌ای در صنعت پیدا کرده‌است و کاربرد آن بویژه در کنترل کیفیت محصولات تولیدی، هدایت روبات و مکانیزم‌های خود هدایت شونده روز به روز گسترده تر می‌شود.

عدم اطلاع کافی مهندسین از تکنولوژی ماشین بینایی و عدم آشنایی با توجیه اقتصادی بکارگیری آن موجب شده‌است که در استفاده از این تکنولوژی تردید و در بعضی مواقع واکنش منفی وجود داشته باشد. علی رغم این موضوع، ماشین بینایی روز به روز کاربرد بیشتری پیدا کرده و روند رشد آن چشمگیر بوده‌است. عملیات پردازش تصویر در حقیقت مقایسه دو مجموعه عدد است که اگر تفاوت این دو مجموعه از یک محدوده خاص فراتر رود، از پذیرفتن محصول امتناع شده و در غیر این‌صورت محصول‌ پذیرفته می‌شود. در زیر پروژه‌هایی که در زمینه پردازش تصاویر پیاده سازی شده‌است، توضیح داده می‌شود. این پروژه‌ها با استفاده از پردازش تصویر، شمارش و اندازه گیری اشیا، تشخیص عیوب، تشخیص ترک، دسته بندی اشیا و عملیات بیشمار دیگری را انجام می‌دهند:

اندازه گیری و کالیبراسیون

جداسازی پینهای معیوب

بازرسی لیبل و خواندن بارکد

بازرسی عیوب چوب

بازرسی قرص

بازرسی و دسته بندی زعفران

درجه بندی و دسته بندی کاشی

بازرسی میوه

کالیبراسیون و ابزار دقیق

اندازه گیری دقیق و سنجش فواصل کوچک یکی از دغدغه‌هاي اصلی در صنایع حساس می‌باشد.دوربینهای با کیفیت امکان کالیبراسیون با دقت بسیار بالا در حد میکرون را فراهم آورده‌اند.

حمل و نقل

تشخیص شماره پلاک خودرو

نرم افزار شمارش خودروهای عبوری از عرض خیابان

بی شک یکی از مؤثر ترین مولفه‌ها در مدیریت و برنامه ریزی دسترسی به آمار دقیق می‌باشد. درصورت وجود آمار دقیق و سریع می‌توان از روشهای کنترل بهینه استفاده کرد و بهره وری را افزایش داد. به عنوان مثال اگر آمار دقیقی از میزان مصرف یک محصول غذایی وجود داشته باشد با برنامه ریزی مناسب می‌توان زمینه تولید و عرضه اصولی آن را فراهم کرد. لذا احتمال نابسامانی در بازار و متضرر شدن کشاورز و مصرف کننده کاهش می‌یابد. چنان که بیان شد مهمترین فاکتور در برنامه ریزی دسترسی به آمار مناسب است اما تهیه آمار فرایند پیچیده و وقت گیر است و معمولا هزینه زیادی را در بر دارد. به عنوان مثال به دلایلی از جمله کنترل ترافیک یا کنترل میزان روشنایی خیابان باید خودروهای عبوری از خیابان شمارش شوند. این کار اگر به صورت دستی یا انسانی انجام شود، هزینه زیادی نیاز دارد، امکان سهل انگاری انسانی نیز وجود دارد پس استفاده از یک دستگاه مناسب که توانایی شمارش خودروهای عبوری را داشته باشد تنها گزینه ممکن است. با توجه به نیاز فوق نرم افزاری تهیه شده‌است که با استفاده از تصاویر گرفته شده از عرض خیابان خودروهای عبوری را تشخیص می‌دهد و تعداد آنها را شمارش می‌کند. این نرم افزار امکان استفاده در روز یا شب را دارا می‌باشد. شمایی از این نرم افزار در زیر نشان داده شده‌است

موجک یا ویولت (Wavelet) دسته‌ای از توابع ریاضی هستند که برای تجزیه سیگنال پیوسته به مؤلفه‌های فرکانسی آن بکار می‌رود که رزولوشن هر مؤلفه برابر با مقیاس آن است. تبدیل موجک تجزیه یک تابع بر مبنای توابع موجک می‌باشد. موجک‌ها (که به عنوان موجک‌های دختر شناخته می‌شوند) نمونه‌های انتقال یافته و مقیاس شده یک تابع (موجک مادر) با طول متناهی و نوسانی شدیداً میرا هستند. چند نمونه موجک مادر در شکل زیر نمایش داده شده‌اند.

مِیِر

مورله

کلاه مکزیکی

 

نکته‌ها و اشارات:

موجک‌ها نوعی فراکتال [۱] به حساب می‌آیند. مهمترین انگیزه و علت پیدایش و رواج فراکتال‌ها را باید نیاز روزافزون مهندسی علوم و محاسبات به ابداع ابزار و روش‌های مؤثرتر برای مواجهه با پیچیدگی و مدیریت آن ذکر کرد.

تبدیل‌های موجک

تعداد زیادی تبدیل موجک وجود دارد که لیست آن را می‌شود در فهرست تبدیل‌های مرتبط با موجک مشاهده نمود. معمول‌ترین این تبدیل‌ها عبارتند از:

تبدیل موجک پیوسته (Continuous wavelet transform (CWT

تبدیل موجک گسسته Discrete wavelet transform (DWT)

تبدیل سریع موجک Fast wavelet transform (FWT)

Lifting scheme

تجزیه بسته‌های موجکWavelet packet decomposition (WPD)

تبدیل موجک ساکن Stationary wavelet transform (SWT)

موجک‌ها و معادلات اتساع

موجک‌ها بر مبنای دو عمل اصلی قرار دارند:

انتقال (Translation)

 W(x) --> W(x + a)\!

اتساع (Dilation)

 W(x) --> W(bx)\!

مقایسه با تبدیل فوریه

در مقایسه با تبدیل فوریه می‌توان گفت که تبدیل موجک دارای خصوصیت محلی‌سازی بسیار خوبی است. بطور مثال تبدیل فوریه یک پیک تیز دارای تعداد زیادی ضریب است، چرا که توابع پایه تبدیل فوریه توابع سینوسی و کسینوسی هستند که دامنه آنها در کل بازه ثابت است، در حالی که توابع موجک توابعی هستند که بیشتر انرژی آنها در بازه کوچکی متمرکز شده‌است و به سرعت میرا می‌شوند.[۲]

تاریخچه

در تاریخ ریاضیات مبادی و ریشه‌های متعددی را می‌توان برای موجک‌ها سراغ گرفت.

کارهای قبل از ۱۹۳۰

مربوط به قبل از ۱۹۳۰ (م) می‌توان به آنالیز فرکانس‌ها اشاره کرد، که به وسیله فوریه شروع شد.

استفاده از واژه موجک‌ها، برای اولین بار، در یکی از ضمیمه‌های تز آلفرد هار (۱۹۰۹ م) ظاهر شد. امروزه هم، این موجک‌ها به همان نام یعنی به موجک‌های هار معروف اند. موجک‌های هار دارای دامنه تعریف فشرده (compact) بوده، و غیر مشتق‌پذیر به صورت پیوسته هستند.

کارهای مربوط به دهه ۱۹۳۰

در این دهه چند گروه پیرامون موضوع نمایش توابع با به کارگیری پایه‌های با مقیاس متغیر برای تنیدن فضاهای توابع تحقیق می‌نمودند.

موجک‌های متعامد

با دیدی کلی می‌توان اظهار داشت که پایه‌های متعامد حالتی بهینه برای تنیدن فضاهای برداری (چه فضاهای با ابعاد متناهی و چه فضاهای بی نهایت بعدی) و انجام محاسبات ارائه می‌نمایند. لذا همواره تمایل و تلاش در این راستا قرار داشته که یا مجموعه پایه‌ها از آغاز متعامد انتخاب شود و یا آن که با شیوه‌هایی نظیر گرام اشمیت آنها را به سوی تعامد سوق داد.

موجک هار

موجک هار اولین موجک شناخته شده می‌باشد که پیدایش آن به سالهای ابتدای قرن بیستم باز می‌گردد. این موجک ساده ترین نوع هم هست و پایه‌هایی متعامد برای تنیدن فضای محاسبه را ارائه می‌دهد.

 (موجک‌ها و معادلات اتساع: مقدمه‌ای کوتاه، گیلبرت استرنگ)

در کل در مورد کاربرد فراکتال در کامییوتر میتوان گفت:

اين روزها از فراکتالها به عنوان يکي از ابزارهاي مهم در گرافيک رايانه اي نام مي برند، اما هنگام پيدايش اين مفهوم جديد بيشترين نقش را در فشرده سازي فايلهاي تصويري بازي کردند.

فراکتالها ابعادي کسري دارند و دقيقا به دليل همين خاصيت ويژه اي که دارند، زماني توانستند روشي براي ذخيره سازي تصاوير ارائه دهند. معمولا زماني که يک تصوير گرافيکي قرار است به شکل يک فايل تصويري ذخيره شود، بايد مشخصات هرنقطه از آن (شامل محل قرار گيري پيکسل و رنگ آن به صورت داده هايي عدي ذخيره شود و زماني که يک مرور گر بخواهد اين فايل را براي شما به تصوير بکشد و نمايش دهد، بايد بتواند اين کدهاي عدي را به ويژگيهاي گرافيکي تبديل کند و آن را به نمايش بگذارد. مشکلي که در اين کار وجود دارد، حجم بالايي از داده ها ست که بايد از سوي نرم افزار ضبط کننده و توليد کننده بررسي شود.

اگر بخواهيم تصوير نهايي ما کيفيتي عالي داشته باشد،نيازمند آنيم که اطلاعات هريک از نقاط تشکيل دهنده تصاوير را با دقت بالايي مشخص و ثبت کنيم و اين حجم بسيار بالايي از حافظه را به خود اختصاص مي دهد، به همين دليل ، روشهايي براي فشرده سازي تصوير ارائه مي شود.

اگر نگاهي به فايلهايي که با پسوندهاي مختلف ضبط شده اند، بيندازيد متوجه تفاوت فاحش حجم آنها مي شويد. برخي از اين فرمتها با پذيرفتن افت کيفيت بين تصوير توليدي و آنچه آنها ذخيره مي کنند، عملا اين امکان را در اختيار مردم قرار مي دهند، که بتوانند فايلها و تصاوير خود را روي فلاپي ها و با حجم کمتر ذخيره کنند يا روي اينترنت قرار دهند.

براي اين فشرده سازي از روشهاي مختفي استفاده مي شود. درواقع در اين فشرده سازي ها بر اساس برخي الگوريتم هاي کار آمد سعي مي شود به جاي ضبط تمام داده هاي يک پيکسل مشخصات اساسي از يک ناحيه ذخيره شود، که هنگام باز سازي تصوير نقشي اساسي تر را ايفا مي کنند.

در اينجاست که روش فراکتالي اهميت خود را نشان مي داد. در يکي از روشهايي که در اين باره مطرح شد و با استقبال بسيار خوبي از سوي طراحان مواجه شد، روش استفاده از خاصيت الگوهاي فراکتالي بود. در اين روش از اين ويژگي اصلي فراکتالها استفاده مي شد که جزيي از يک تصوير در کل آن تکرار مي شود.براي درک بهتر به يک مثال نگاهي بيندازيم. فرض کنيد تصويري از يک برگ سرخس تهيه کرده ايد و قصد ذخيره کردن آن را داريد.

همان طور که قبلا هم اشاره شد، اين برگ ساختاري کاملا فراکتالي دارد؛ يعني اجزاي کوچک تشکيل دهنده در ساختار بزرگ تکرار مي شود.

بخشي از يک برگ کوچک ،برگ را مي سازد و کنار هم قرار گرفتن برگها ساقه اصلي را تشکيل مي دهد. اگر بخواهيم تصوير اين برگ را به روش عادي ذخيره کنيم ، بايد مشخصات ميليون ها نقطه اين برگ را دانه به دانه ثبت کنيم ، اما راه ديگري هم وجود دارد. بياييد و مشخصات تنها يکي از دانه هاي اصلي را ضبط کنيد. در اين هنگام با اضافه کردن چند عملگر رياضي ساده بقيه برگ را مي توانيد توليد کنيد.

در واقع ، با در اختيار داشتن اين بلوک ساختماني و اعمال عملگرهايي چون دوران حول محورهاي مختلف ، بزرگ کردن يا کوچک کردن و انتقال مي توان حجم تصوير ذخيره شده را به طور قابل توجهي کاهش داد.

در اين روش نرم افزار نمايشگر شما هنگامي که مي خواهد تصوير را بازسازي کند، بايد ابتدا بلوک کوچک را شبيه سازي کرده ، سپس عملگرهاي رياضي را روي آن اعمال کند، تا نتيجه نهايي حاصل شود.

به نظر مي رسد اين روش مي تواند حجم نهايي را به شکل قابل ملاحظه اي کاهش دهد، اما تنها يک مشکل کوچک وجود دارد و آن هم اين نکته است که همه اشياي اطراف ما برگ سرخس نيستند و بنابراين الگوهاي تکرار در آنها هميشه اينقدر آشکار نيست.

بنابراين بايد روشي بتواند الگوهاي فراکتالي حاضر در يک تصوير را شناسايي کنند و در صورت امکان آن را اعمال کند.

به همين دليل ، معمولا روش فراکتالي با روشهاي فشرده سازي ديگر همزمان به کار برده مي شود؛ يعني اگر الگوهاي تکرار چندان پررنگ نبودند، بازهم فشرده سازي امکانپذير باشدالبته زياد نگران ناکارامدي اين روش نباشيد. يادتان نرود، شما در جهاني زندگي مي کنيد که براساس يافته جديد ساختاري آشوبناک دارد.

اینها فیلم های خیره کننده ای هستند که می توانند تغییرات بزرگنمایی را به تصویر بکشند همین طور که تماشا کننده در عمق غیر قابل تصور شکل های فراکتالی تمرکز می کند.
این فیلم های تمرکزی که دارای دامنه وسیع تر از حد جهان هستندمی توانند به آسانی به وجود بیایند. مشاهده شکل هایی که دایماً در حال تغییرهستند و سعی در فهمیدن تغییر در مقیاس می تواند شگفت انگیز باشد.

معمولا زماني كه يك تصوير گرافيكي قرار است به شكل يك فايل تصويري ذخيره شود بايد مشخصات هر نقطه از آن به صورت داده هاي عددي ذخيره شود. در اين فشرده سازي ها بر اساس برخي الگوريتم هاي کار آمد سعي مي شود به جاي ضبط تمام داده هاي يک پيکسل مشخصات اساسي از يک ناحيه ذخيره شود، که هنگام باز سازي تصوير نقشي اساسي تر را ايفا مي کنند. بابهره گيري از آناليز كامپيوتري براي تفسير و تحليل تابلوهاي نقاشي جكسون پولاك، لكه ها و چكه هاي معروف اين هنرمند فرمهاي فراكتاكي ای را تصوير مي كنند، شبيه به فرمهايي كه در طبيعت در درختان، ابرها و خطوط ساحلي به چشم مي خورد. کامپیوترها می توانند یک شکل واقعی را بگیرند و با انجام تکرار زیاد به آن شکل تخیلی بدهند . یک معادله ی فراکتال می توان ساخت که شکل ابرها را بسازد . در فیلم ها ی متعددی از فراکتال ها برای چشم انداز پشت صحنه استفاده می کنند.

جـــمـــع بــنــــدی :

ودر آخراینکه میدانیم برای اینکه تابعی مشتق پذیر باشه شرط پیوستگی لازم ولی ناکافیه٬البته عموما توابع پیوسته بجز در بعضی نقاط خاص در بقیه نقاط مشتق پذیرن. وایرشتراس ریاضیدان با ارائه ی تابعی که همه جا پیوسته بود ولی هیچ جا مشتق پذیر نبود دنیای ریاضیات رو تکان داد!!! اون زمانها نمیتونستند این تابع که یک سری نامتناهی هست رو بطور شهودی رسم کنند اما امروزه با وقتی با کامپیوتر این تابع رو رسم میکنند یک فراکتال حاصل میشه!!!  

هندسه فراکتال بر بسياري از اشکال عالم حاکم است ؛ حتي اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد. تئوري فرکتالها علاوه بر زيبايي خاصي که از ديد رياضي دارد يکي از روشهاي بسيار کاربردي در تفسير و مدلسازي طبيعت مي باشد. آشنايي با فرکتالها به هنرمندان اجازه مي دهد تا آثار هنري بسيار زيبايي را خلق کنند.
کشف مفاهیم فرکتالی ابزاری نیرومند در اختیار دانشمندان برای همسنجی پدیده‌های پیچیده طبیعی قرار داد.

بطور کلی هدف علوم علی الخصوص علوم پایه٬پیدا کردن یه مدل ریاضی از رخدادهای دنیای واقعیه تا بتونن با استفاده از اون مدل خواص اون رخداد رو بهتر بررسی کنند.مثلا یکی از کاربردهای فراکتال مدل بندی ترافیک شبکه های مخابراتیه.تا چند سال پیش ترافیک شبکه های مخابراتی از توزیع پواسون تبعیت میکرد. تا چند سال قبل که شبکه های مخابراتی اعم از تلفن ثابت و تلفن همراه و اینترنت و ... مثل امروز اینقدر گسترده نبودند ترافیک اونها رو با استفاده از توزیع پواسون مدل بندی میکردن اما الان اونقدر ترافیک این شبکه ها زیاد شده که دیگه توزیع پواسون جوابگو نیست و دانشمندان از فراکتالهای بسیار پیچیده برای این کار استفاده میکنن. با  استفاده از فركتال ها به راحتي مي توان نوار قلب بيماران را تفسير كرد و حتي احتمال بروز حمله قلبي در آنها را حدس زد و از آن جلوگيري كرد.ممكن است روزي فركتال ها در فهميدن چگونگي كار مغز يا ارگانيسم بدن بسيار كارا و مؤثر واقع شوند پيدا كردن پيوندهاي بين علم و زندگي، آن رويي از سكه است كه متاسفانه در كشور ما اصلاً به آن توجهي نمي شود.

 

منـــابـــع :

http://edu.tebyan.net/math/fractal/

http://hendese.blogfa.com/

http://mathforum.org/sum95/suzanne/

http://www.memaran.ir/index.php

http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/

http://sprott.physics.wisc.edu/fractals/arigiedm.gif

http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/fracintro/
http://www.math.umass.edu/~mconnors/fractal/fractal.html
http://www.geom.uiuc.edu/java/LeapFractal/ http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/fracintro/http://www.math.umass.edu/~mconnors/fractal/fractal.html

http://www.geom.uiuc.edu/java/

http://mathforum.org/alejandre/workshops/fractal/fractal3.htm

 

 

گزارش تخلف
بعدی